Esercizio funzioni a due variabili
Oggi ho risolto questo esercizio:
data la funzione g(x,y)= x^3 + 2y^3 - 3x^2y = 0
mi chiedeva di:
a) verificare che questa definisce implicitamente y=f(x) nell'intorno di (1,1):
l'ho verificato con il teorema di Dini essendo g(1,1)=o e d/dy (g(1,1)) diversa da 0.
b) determinare la retta tangente al grafico di f in x0=1.
Ho utilizzato il teorema di Dini e poiché sono verificate le ipotesi ho che F(x(f(x))=0.
Mi calcolo le derivate parziali di g in 1,1 e poi derivo F e mi viene : dF= Fx(x,f(x)) + Fy(x,f(x))*f'(x) =0 , dove Fx e Fy sono le derivate rispetto a x e a y di F.
Conosco già il valore di Fx e Fy che sarebbero gx e gy in (1,1) e da li mi ricavo f'(1).
L'equazione della retta tangente è f(x) = f(xo) + f'(xo)(x-xo), sostituisco i valori e mi viene y= 2-x;
c) determinare il polinomio di Taylor di ordine 2 in xo=1 della funzione f:
siccome il polinomio di Taylor e T2[f](x,y) = f(xo,yo) + d/dx f(xo,yo)(x-x0) + d/dy f(xo,yo)(y-y0) + d^2/dx f(xo,yo)(x-x0)^2
+ d^2/dy f(xo,yo)(y-y0)^2 + (1/2)* d/dxdy f(xo,yo)(x-xo)(y-y0)
Il mio dubbio è il seguente essendo la funzione quella scritta all'inizio dell'esercizio e sapendo che quando x=1 si annulla per y=1 e definisce esplicitamente y=f(x) nell'intorno di (1,1) ... la parte dell'esercizio la devo risolvere facendo le derivate secondo e miste con il procedimento applicato nella parte b o posso calcolarmi le derivate seconde e miste di g e poi sostituirle alla formula del polinomio di Taylor di secondo grado?
Il mio dubbio nasce dal fatto che mi dia xo=1 invece che un punto.. non so se è corretto risolverlo in (1,1) o ragionare con g(1,f(1))...
Se è sbagliato questo ragionamento correggetemi, vorrei evitare di fare questo tipo di errore all'esame!
Vi ringrazio in anticipo
data la funzione g(x,y)= x^3 + 2y^3 - 3x^2y = 0
mi chiedeva di:
a) verificare che questa definisce implicitamente y=f(x) nell'intorno di (1,1):
l'ho verificato con il teorema di Dini essendo g(1,1)=o e d/dy (g(1,1)) diversa da 0.
b) determinare la retta tangente al grafico di f in x0=1.
Ho utilizzato il teorema di Dini e poiché sono verificate le ipotesi ho che F(x(f(x))=0.
Mi calcolo le derivate parziali di g in 1,1 e poi derivo F e mi viene : dF= Fx(x,f(x)) + Fy(x,f(x))*f'(x) =0 , dove Fx e Fy sono le derivate rispetto a x e a y di F.
Conosco già il valore di Fx e Fy che sarebbero gx e gy in (1,1) e da li mi ricavo f'(1).
L'equazione della retta tangente è f(x) = f(xo) + f'(xo)(x-xo), sostituisco i valori e mi viene y= 2-x;
c) determinare il polinomio di Taylor di ordine 2 in xo=1 della funzione f:
siccome il polinomio di Taylor e T2[f](x,y) = f(xo,yo) + d/dx f(xo,yo)(x-x0) + d/dy f(xo,yo)(y-y0) + d^2/dx f(xo,yo)(x-x0)^2
+ d^2/dy f(xo,yo)(y-y0)^2 + (1/2)* d/dxdy f(xo,yo)(x-xo)(y-y0)
Il mio dubbio è il seguente essendo la funzione quella scritta all'inizio dell'esercizio e sapendo che quando x=1 si annulla per y=1 e definisce esplicitamente y=f(x) nell'intorno di (1,1) ... la parte dell'esercizio la devo risolvere facendo le derivate secondo e miste con il procedimento applicato nella parte b o posso calcolarmi le derivate seconde e miste di g e poi sostituirle alla formula del polinomio di Taylor di secondo grado?
Il mio dubbio nasce dal fatto che mi dia xo=1 invece che un punto.. non so se è corretto risolverlo in (1,1) o ragionare con g(1,f(1))...
Se è sbagliato questo ragionamento correggetemi, vorrei evitare di fare questo tipo di errore all'esame!
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
io li ho sempre risolti calcolando le derivate successive allo stesso modo della derivata prima, però forse ci sono anche altri modi per farlo
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