Esercizio funzioni
Sia $ f: R->R $ tale che per ogni $ x in R, f(f(x))=x $ .
1) Determinare una tale funzione f per cui per ogni $x in R$ $ f(x)!= x $
2) Dimostrare che se $f in C(R)$ allora esiste $x_0 in R$ tale che $ f(x_0)=x_0 $
Ho provato per molto ma non riesco a trovare una funzione che soddisfi il primo punto, qualche idea giusto per iniziare?
1) Determinare una tale funzione f per cui per ogni $x in R$ $ f(x)!= x $
2) Dimostrare che se $f in C(R)$ allora esiste $x_0 in R$ tale che $ f(x_0)=x_0 $
Ho provato per molto ma non riesco a trovare una funzione che soddisfi il primo punto, qualche idea giusto per iniziare?
Risposte
Cosa hai provato?
ho provato con $f(x)=1/x$, ma non vale su tutto $RR$, $x=0$ non lo posso prendere
poi ho pensato $f(x)=-x$, ma in questo caso non è sempre vero $f(x)!=x$ perché $f(0)=0$
ho provato con $f(x)=1/x$, ma non vale su tutto $RR$, $x=0$ non lo posso prendere
poi ho pensato $f(x)=-x$, ma in questo caso non è sempre vero $f(x)!=x$ perché $f(0)=0$
avevo provato anche io $f(x)=-x$ ma niente.. poi altre funzioni, ma o il loro dominio non era tutto R o non mi soddisfaceva la condizione..
Beh, un' osservazione che mi pare possa esse utile c'è:
se riusciamo a dimostrare la veridicità della (2)
(procederei per assurdo e col Teorema di esistenza degli zeri applicato alla $g(x)=f(x)-x: RR to RR$..),
abbiamo certezza che la $f$ buona per la (1) va' cercata nel campo delle funzioni definite in tutto il continuo lineare ma non continue su ogni suo punto
(ed i valori assunti da $f$ nei punti di discontinuità devono andare giocoforza "in coppia", a seguito dell'altra condizione).
Saluti dal web.
se riusciamo a dimostrare la veridicità della (2)
(procederei per assurdo e col Teorema di esistenza degli zeri applicato alla $g(x)=f(x)-x: RR to RR$..),
abbiamo certezza che la $f$ buona per la (1) va' cercata nel campo delle funzioni definite in tutto il continuo lineare ma non continue su ogni suo punto
(ed i valori assunti da $f$ nei punti di discontinuità devono andare giocoforza "in coppia", a seguito dell'altra condizione).
Saluti dal web.
Ah ok. Quindi io mi dovrei trovare una funzione che può essere anche discontinua in qualche punto?
"Maryse":
Ah ok. Quindi io mi dovrei trovare una funzione che può essere anche discontinua in qualche punto?
Deve
....Saluti dal web.
P.S. Se postassi i tuoi ragionamenti per verificare la (2), verrebbe più comodo parlarne..
Allora la condizione 2 mi dice che se f è una funzione continua nei reali, allora esiste un $x_0 in R$ tale che $f(x_0)=x_0$ quindi abbiamo detto che per dimostrarlo suppongo per assurdo che tale punto non esista, giusto?
quindi non esiste $x_0 in R$ tale che $f(x_0) = x_0$ . Mi prendo adesso una funzione $g(x)$ continua, definita come $g(x) = f(x)-x$ a tale funzione posso applicare il teorema degli zeri delle funzioni continue e quindi, esiste un punto $x_0$ nel quale la funzione ha soluzione e da ciò $0 = f(x_0) -x_0$ ... questo per il punto 2?
quindi non esiste $x_0 in R$ tale che $f(x_0) = x_0$ . Mi prendo adesso una funzione $g(x)$ continua, definita come $g(x) = f(x)-x$ a tale funzione posso applicare il teorema degli zeri delle funzioni continue e quindi, esiste un punto $x_0$ nel quale la funzione ha soluzione e da ciò $0 = f(x_0) -x_0$ ... questo per il punto 2?
No, Maryse, così vorrebbe dire he la verificate l'ho svolta io (con poca attenzione, tra l'altro..):
devi sbatterci la testa un po' di più, credo.
Saluti dal web.
devi sbatterci la testa un po' di più, credo.
Saluti dal web.
Continuo a provare e vedere se risolvo qualcosa
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