Esercizio funzione uniformemente continua

[bernardo2]

Salve a tutti, vi sarei grato se qualcuno di voi riuscisse a darmi una mano con il seguente esercizio:

Sia $f: RR \to RR$ continua e periodica
Supponiamo che $f(x^2)$ sia una funzione uniformemente continua su $RR$, allora $f$ è costante

grazie ciao

[rubik2]

Supponi f non costante e di periodo T allora f assumerà massimo e minimo in $[0,T]$ nei punti $x$ e $x+t$ (per un certo t) e lo assumerà nei punti $x+kT$ e $y+t+kT$ ora pongo $x_k^2=x+kT$ e $y_k^2=x+t+kT$ quindi ad esempio $x_k=sqrt(x+kT)$ e $y_k=sqrt(x+t+kT)$

$y_k-x_k=t/((sqrt(x+kT)+sqrt(x+t+kT))$ quantità che tende a zero per $k->+oo$ mentre $f(y_k)-f(x_k)=m-M$

se prendo $epsilon<|m-M|$ allora per ogni $delta$ esiste $k$ tale che $|y_k-x_k|epsilon$

spero di essere stato chiaro altrimenti dimmi! ciao