Esercizio Funzione Olomorfa

[informatica333]

Buonasera a tutti,

dovrei verificare che la funzione

f(z) = z / cos(z) é olomorfa (ove definita).

io ho provato a svolgere il coseno tramite le formule di Eulero ottenendo : cos(z) = cos(x)cosh(y) - i sen(x)senh(y)

e per z ho messo z = x+iy

Stavo procedendo razionalizzando per poi isolare la parte immaginaria da quella reale e calcolare le derivate parziali (Cauchy Riemann) ma, vengono fuori conti secondo me troppo lunghi.

VOlevo dunque gentilmente chiedervi se ho approcciato il problema in modo corretto.

Ho intrapreso una strada sbagliata?

Grazie a tutti.

[billyballo2123]

Secondo me si
Io suggerisco di dimostrare che $f(z)=\cos(z)$ è olomorfa (facile essendo una serie di potenze) e che è olomorfa anche $g(w)=1/w$ (ove definita). Poi sapendo (o dimostrando come nel caso reale) che la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa (a patto siano rispettati i domini), otteniamo che $g(f(z))=1/\cos(z)$ è olomorfa, e dunque moltiplicando per $z$ otteniamo ancora una funzione olomorfa.

[informatica333]

Ciao,

grazie mille per la risposta. Non sapevo che il prodotto di funzioni olomorfe desse una funzione olomorfa.

Hai un link in cui viene trattata questa proprieta?

[Bremen000]

Credo si possa dimostrare così:

Siano $f(z) = u(x,y)+iv(x+y) $ e $ g(z) = h(x,y) + ik(x,y)$ due funzioni olomorfe, dunque valgono le seguenti:

\begin{equation}
\begin{cases}
u_{x}=v_{y} \\ u_{y}=-v_{x} \\ h_{x}=k_{y} \\ h_{y}=-k_{x}
\end{cases}
\end{equation}
Detta $t(z)$ la funzione prodotto:

$
t(z)=f(z)\cdot g(z) = (u(x,y)h(x,y)-v(x,y)k(x,y)) + i(v(x,y)h(x,y)+u(x,y)k(x,y))
$

verifichiamo le condizioni Cauchy-Riemann su di essa:

$
\frac{\partial Re(t)}{\partial x} = u_{x}h +uh_{x} -v_{x}k-vk_{x}
$

$
\frac{\partial Im(t)}{\partial y} = v_{y}h+vh_{y} +u_{y}k+uk_{y}
$

$
\frac{\partial Re(t)}{\partial y} = u_{y}h +uh_{y} -v_{y}k-vk_{y}
$

$
-\frac{\partial Im(t)}{\partial x} = -v_{x}h-vh_{x} -u_{x}k-uk_{x}
$

Ora con le dovute sostituzioni le quattro espressioni precedenti sono uguali a coppie (le prime due e le ultime due), ovvero $t(z)$ verifica le equazioni di Cauchy_Riemann, quindi è olomorfa.

Ciao.

[billyballo2123]

Oppure usi il procedimento che si usa anche con le variabili reali: se $f$ e $g$ sono olomorfe in $z$, allora la funzione prodotto $h(z)=f(z)\cdot g(z)$ è olomorfa in $z$ perché
\[
\lim_{h\to 0}\frac{h(z+h)-h(z)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)g(z+h)-f(z)g(z)}{h}=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)
\]
(ovviamente $h$ è complesso).