Esercizio funzione integrale [ok risolto!!]
devo disegnare la funzione: $f(x) = \int_0^x e^(t^2)/((1-e^t)^(1/3)*(t-1)*(t+2)^(1/2)) dt$
determino il dominio e vedo che ho "irregolarità" in t=-2, t=0 e t=1...
dovendo partire da zero guardo subito se converge in zero altrimenti non posso fare l'esercizio:
$lim_(t->0-) e^(t^2)/((1-e^t)^(1/3)*(t-1)*(t+2)^(1/2)) = -oo$ di ordine 1/3 quindi converge
$lim_(t->0+) e^(t^2)/((1-e^t)^(1/3)*(t-1)*(t+2)^(1/2)) = +oo$ di ordine 1/3 quindi converge
a questo punto vado a vedere in 1 e in -2 che succede:
$lim_(t->1-) e^(t^2)/((1-e^t)^(1/3)*(t-1)*(t+2)^(1/2)) = -oo$ di ordine 1/3 quindi diverge e non me ne frega nulla di andare a vedere cosa fa a +oo in quanto il dominio della funzione si ferma a 1.
$lim_(t->-2+) e^(t^2)/((1-e^t)^(1/3)*(t-1)*(t+2)^(1/2)) = +oo$ di ordine 1/2 quindi converge
Qui nasce il mio problema rispetto agli altri esercizi... solitamente visto che converge io devo andare a vedere l'estremo del dominio che diventerebbe -oo... Peccato però che il libro mi dice che il dominio della funzione è $[-2,1)$
andando a calcolare il limite a -oo mi viene (a meno di errori di calcoli) che:
$lim_(t->-oo) e^(t^2)/((1-e^t)^(1/3)*(t-1)*(t+2)^(1/2)) = -oo$ perchè viene un oo/oo con ordine maggiore a denominatore (2 vs 3/2)... però come faccio a sapere di che ordine?? quando ho un rapporto di infiniti e sfrutto il teorema che mi dice che se l'ordine di infinitesimo del denominatore è maggiore di quello del denominatore allora va a oo...
sapreste aiutarmi e dirmi dove sbaglio??
grazie!!
determino il dominio e vedo che ho "irregolarità" in t=-2, t=0 e t=1...
dovendo partire da zero guardo subito se converge in zero altrimenti non posso fare l'esercizio:
$lim_(t->0-) e^(t^2)/((1-e^t)^(1/3)*(t-1)*(t+2)^(1/2)) = -oo$ di ordine 1/3 quindi converge
$lim_(t->0+) e^(t^2)/((1-e^t)^(1/3)*(t-1)*(t+2)^(1/2)) = +oo$ di ordine 1/3 quindi converge
a questo punto vado a vedere in 1 e in -2 che succede:
$lim_(t->1-) e^(t^2)/((1-e^t)^(1/3)*(t-1)*(t+2)^(1/2)) = -oo$ di ordine 1/3 quindi diverge e non me ne frega nulla di andare a vedere cosa fa a +oo in quanto il dominio della funzione si ferma a 1.
$lim_(t->-2+) e^(t^2)/((1-e^t)^(1/3)*(t-1)*(t+2)^(1/2)) = +oo$ di ordine 1/2 quindi converge
Qui nasce il mio problema rispetto agli altri esercizi... solitamente visto che converge io devo andare a vedere l'estremo del dominio che diventerebbe -oo... Peccato però che il libro mi dice che il dominio della funzione è $[-2,1)$
andando a calcolare il limite a -oo mi viene (a meno di errori di calcoli) che:
$lim_(t->-oo) e^(t^2)/((1-e^t)^(1/3)*(t-1)*(t+2)^(1/2)) = -oo$ perchè viene un oo/oo con ordine maggiore a denominatore (2 vs 3/2)... però come faccio a sapere di che ordine?? quando ho un rapporto di infiniti e sfrutto il teorema che mi dice che se l'ordine di infinitesimo del denominatore è maggiore di quello del denominatore allora va a oo...
sapreste aiutarmi e dirmi dove sbaglio??
grazie!!
Risposte
forse ho capito l'inghippo!!
in pratica essendoci la radice quadrata io non posso avere numeri <-2 e quindi il mio dominio è di conseguenza su [-2,1)!!!
visto che ho rotto le scatole aprendo una discussione appena finito posto la soluzione completa!!
in pratica essendoci la radice quadrata io non posso avere numeri <-2 e quindi il mio dominio è di conseguenza su [-2,1)!!!
visto che ho rotto le scatole aprendo una discussione appena finito posto la soluzione completa!!
quindi la mia funzione è integrabile eventualmente su [-2,1) e (1,+oo) ma a me interessa il primo intervallo!!
per il teorema fondamentale ho tutti le mie f'(x) necessarie per disegnarle (funzioni integrande) e so che:
$f'(x) > 0 AA x in (0,1)$
in 1- va a +oo
non è derivabile in -2+ e in 0 ed ha tangente verticale nei due punti
in 0 vale 0
e perciò ora basta disegnare il grafico!!
per il teorema fondamentale ho tutti le mie f'(x) necessarie per disegnarle (funzioni integrande) e so che:
$f'(x) > 0 AA x in (0,1)$
in 1- va a +oo
non è derivabile in -2+ e in 0 ed ha tangente verticale nei due punti
in 0 vale 0
e perciò ora basta disegnare il grafico!!
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