Esercizio funzione integrabile
Ciao a tutti.
Sono fermo su questo esercizio e non so come muovermi.
Sia \(\displaystyle f(x) = \begin{equation}\begin{cases} 3x^2log|x+1| & \text{, se } x<-1 \\ \sqrt{1-x^2} & \text{, se } -1\le x\le1 \\ (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+6})logx & \text{, se } x>1 \end{cases}\end{equation} \)
1) Dire se \(\displaystyle f \) è integrabile su \(\displaystyle [-2,0] \) ed eventualmente calcolare \(\displaystyle \int_{-2}^0 f(x)dx \).
2) Dire se \(\displaystyle f \) è integrabile sull'intervallo \(\displaystyle [0, +\infty) \).
Grazie mille in anticipo.
Sono fermo su questo esercizio e non so come muovermi.
Sia \(\displaystyle f(x) = \begin{equation}\begin{cases} 3x^2log|x+1| & \text{, se } x<-1 \\ \sqrt{1-x^2} & \text{, se } -1\le x\le1 \\ (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+6})logx & \text{, se } x>1 \end{cases}\end{equation} \)
1) Dire se \(\displaystyle f \) è integrabile su \(\displaystyle [-2,0] \) ed eventualmente calcolare \(\displaystyle \int_{-2}^0 f(x)dx \).
2) Dire se \(\displaystyle f \) è integrabile sull'intervallo \(\displaystyle [0, +\infty) \).
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Per prima cosa: cosa vuol dire che una funzione è integrabile su in intervallo?
Una funzione è integrabile su un intervallo se è continua e limitata in esso... nel primo caso so che succede qualcosa nel punto \(\displaystyle x_0=-1 \) essendo che \(\displaystyle \lim_{x \to -1^-} {f(x)} = -\infty \ne f(-1)=0\).
Allora ho pensato che per dire se \(\displaystyle f(x) \) è integrabile in \(\displaystyle [-2,0] \) serve suddividerlo in due parti:
\(\displaystyle \int_{-2}^0 f(x)dx = \int_{-2}^{-1} f(x)dx + \int_{-1}^{0} f(x)dx \), dove il secondo è sicuramente integrabile mentre il primo risulta essere un integrale improprio. Non riesco a far vedere che converge però.
Allora ho pensato che per dire se \(\displaystyle f(x) \) è integrabile in \(\displaystyle [-2,0] \) serve suddividerlo in due parti:
\(\displaystyle \int_{-2}^0 f(x)dx = \int_{-2}^{-1} f(x)dx + \int_{-1}^{0} f(x)dx \), dove il secondo è sicuramente integrabile mentre il primo risulta essere un integrale improprio. Non riesco a far vedere che converge però.
"mariokarter":
Una funzione è integrabile su un intervallo se è continua e limitata in esso... nel primo caso so che succede qualcosa nel punto \(\displaystyle x_0=-1 \) essendo che \(\displaystyle \lim_{x \to -1^-} {f(x)} = -\infty \ne f(-1)=0\).
Una funzione è integrabile secondo Riemann in un intervallo chiuso e limitato se è continua in esso.
$f(x)$ non è continua in $[-2,0]$ perche il $lim_(x->-1^(-)) f(x)!=lim_(x->-1^(+)) f(x)$
Svolgendo però il primo dei due integrali con WolframAlpha riesco ad ottenere una soluzione, come se convergesse... non riesco a capirne il motivo.
Vediamo se ho capito bene.
Poichè Wolfram ti restituisce un valore, allora tu ignori:
a) il problema in se, per cui f(x) è un'unica funzione continua ovunque eccetto che in x=-1
b) che Wolfram Alpha ha calcolato un integrale improprio $lim_(a->-1)int_(-2)^a 3x^2ln|x+1|$ di una funzione che non ha nemmeno un integrale indefinito esprimibile con funzioni elementari.
E concludi che se wolfram ti da un valore allora puoi calcolare quell'integrale e ti stupisci piuttosto del fatto che abbiano assegnato un calcolo impossibile con carta e penna.
Ho capito bene?
Poichè Wolfram ti restituisce un valore, allora tu ignori:
a) il problema in se, per cui f(x) è un'unica funzione continua ovunque eccetto che in x=-1
b) che Wolfram Alpha ha calcolato un integrale improprio $lim_(a->-1)int_(-2)^a 3x^2ln|x+1|$ di una funzione che non ha nemmeno un integrale indefinito esprimibile con funzioni elementari.
E concludi che se wolfram ti da un valore allora puoi calcolare quell'integrale e ti stupisci piuttosto del fatto che abbiano assegnato un calcolo impossibile con carta e penna.
Ho capito bene?
Puoi provare a calcolare l'integrale con un limite:
$$\int_{-2}^{-1} 3x^2\log|x+1|\ dx=\lim_{a\to -1^-}\int_{-2}^a 3x^2\log(-x-1)\ dx=$$
(ho riscritto il valore assoluto come $|x+1|=-x-1$ visto che $x+1<0$ quando $x<-1$)
$$=\lim_{a\to -1^-}\left\{\left[x^3\log(-x-1)\right]_{-2}^a-\int_{-2}^a\frac{x^3}{x+1}\ dx\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\int_{-2}^a\frac{x^3+1-1}{x+1}\ dx\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\int_{-2}^a\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}\ dx+\int_{-2}^a\frac{1}{x+1}\ dx\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\int_{-2}^a(x^2-x+1)\ dx+\left[\log|x+1|\right]_{-2}^a\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\right]_{-2}^a+\log|a+1|\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-a+5+\log(-a-1)\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{(a^3+1)\log(-a-1)\right\}+\frac{41}{6}$$
Per l'ultimo limite, osserva che se $t=-a-1$ allora $t\to 0^+$ quando $a\to -1^-$ e si ha
$$\lim_{t\to 0^+}(-t^3-3t^2-3t)\log t=\lim_{t\to 0^+}(-t^2-3t-3)\cdot t\log t=0$$
in quanto $\lim_{t\to 0^+} t\log t=0$. Pertanto
$$\int_{-2}^{-1} f(x)\ dx=\frac{41}{6}$$
(sempre se non ho fatto errori stupidi di calcolo).
$$\int_{-2}^{-1} 3x^2\log|x+1|\ dx=\lim_{a\to -1^-}\int_{-2}^a 3x^2\log(-x-1)\ dx=$$
(ho riscritto il valore assoluto come $|x+1|=-x-1$ visto che $x+1<0$ quando $x<-1$)
$$=\lim_{a\to -1^-}\left\{\left[x^3\log(-x-1)\right]_{-2}^a-\int_{-2}^a\frac{x^3}{x+1}\ dx\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\int_{-2}^a\frac{x^3+1-1}{x+1}\ dx\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\int_{-2}^a\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}\ dx+\int_{-2}^a\frac{1}{x+1}\ dx\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\int_{-2}^a(x^2-x+1)\ dx+\left[\log|x+1|\right]_{-2}^a\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\right]_{-2}^a+\log|a+1|\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-a+5+\log(-a-1)\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{(a^3+1)\log(-a-1)\right\}+\frac{41}{6}$$
Per l'ultimo limite, osserva che se $t=-a-1$ allora $t\to 0^+$ quando $a\to -1^-$ e si ha
$$\lim_{t\to 0^+}(-t^3-3t^2-3t)\log t=\lim_{t\to 0^+}(-t^2-3t-3)\cdot t\log t=0$$
in quanto $\lim_{t\to 0^+} t\log t=0$. Pertanto
$$\int_{-2}^{-1} f(x)\ dx=\frac{41}{6}$$
(sempre se non ho fatto errori stupidi di calcolo).
"Bokonon":
Vediamo se ho capito bene.
Poichè Wolfram ti restituisce un valore, allora tu ignori:
a) il problema in se, per cui f(x) è un'unica funzione continua ovunque eccetto che in x=-1
b) che Wolfram Alpha ha calcolato un integrale improprio $lim_(a->-1)int_(-2)^a 3x^2ln|x+1|$ di una funzione che non ha nemmeno un integrale indefinito esprimibile con funzioni elementari.
E concludi che se wolfram ti da un valore allora puoi calcolare quell'integrale e ti stupisci piuttosto del fatto che abbiano assegnato un calcolo impossibile con carta e penna.
Ho capito bene?
a) lo sapevo.
b) no, semplicemente ho chiesto se si può far vedere che converge.
Ci è stato detto che era possibile calcolarlo.
"ciampax":
Puoi provare a calcolare l'integrale con un limite:
$$\int_{-2}^{-1} 3x^2\log|x+1|\ dx=\lim_{a\to -1^-}\int_{-2}^a 3x^2\log(-x-1)\ dx=$$
(ho riscritto il valore assoluto come $|x+1|=-x-1$ visto che $x+1<0$ quando $x<-1$)
$$=\lim_{a\to -1^-}\left\{\left[x^3\log(-x-1)\right]_{-2}^a-\int_{-2}^a\frac{x^3}{x+1}\ dx\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\int_{-2}^a\frac{x^3+1-1}{x+1}\ dx\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\int_{-2}^a\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}\ dx+\int_{-2}^a\frac{1}{x+1}\ dx\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\int_{-2}^a(x^2-x+1)\ dx+\left[\log|x+1|\right]_{-2}^a\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\right]_{-2}^a+\log|a+1|\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{a^3\log(-a-1)-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-a+5+\log(-a-1)\right\}=\\
=\lim_{a\to -1^-}\left\{(a^3+1)\log(-a-1)\right\}+\frac{41}{6}$$
Per l'ultimo limite, osserva che se $t=-a-1$ allora $t\to 0^+$ quando $a\to -1^-$ e si ha
$$\lim_{t\to 0^+}(-t^3-3t^2-3t)\log t=\lim_{t\to 0^+}(-t^2-3t-3)\cdot t\log t=0$$
in quanto $\lim_{t\to 0^+} t\log t=0$. Pertanto
$$\int_{-2}^{-1} f(x)\ dx=\frac{41}{6}$$
(sempre se non ho fatto errori stupidi di calcolo).
grazie mille, ora me lo guardo per bene
Ciao mariokarter,
A me risulta $\int_{-2}^{-1} f(x)\text{d}x = - 29/6 $, per cui in definitiva mi risulta quanto segue:
$\int_{-2}^{0} f(x)\text{d}x = \int_{-2}^{-1} f(x)\text{d}x + \int_{-1}^{0} f(x)\text{d}x = - 29/6 + \pi/4 = (3\pi - 58)/12 $
A me risulta $\int_{-2}^{-1} f(x)\text{d}x = - 29/6 $, per cui in definitiva mi risulta quanto segue:
$\int_{-2}^{0} f(x)\text{d}x = \int_{-2}^{-1} f(x)\text{d}x + \int_{-1}^{0} f(x)\text{d}x = - 29/6 + \pi/4 = (3\pi - 58)/12 $
Eh sì, ho scritto $+5$ ma è un $-5$
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