Esercizio funzione implicita

[Anacleto13]

Data $(1+x^2)y+e^xy^3+cos(x+y)=0$ devo verificare se vale il teorema delle funzioni implicite in un intorno di $(0,0)$ e non vale perché $f(0,0)\ne 0$, poi l'esercizio chiede di dire se ammette un'unica funzione $y=\phi(x)$ definita su tutto $\mathbb{R}$ ma in questo caso dato che non vale il TFI come va fatta la verifica?

[otta96]

"Anacleto13":Data $(1+x^2)y+e^xy^3+cos(x+y)=0$ devo verificare se vale il teorema delle funzioni implicite in un intorno di $(0,0)$ e non vale perché $f(0,0)\ne 0$,

Giusto, vale la pena notare però che alcuni intendono una cosa più debole, cioè il fatto che nell'enunciato del teorema si abbia $f(x_0,y_0)=0$ è per comodità, il fatto fondamentale è quello che viene dopo, quindi forse chi ha fatto l'esercizio intendeva chiedere se esiste una funzione $h$ definita implicitamente nell'intorno di $(0,0)$ tale che $f(x,h(x))=f(0,0)$.

poi l'esercizio chiede di dire se ammette un'unica funzione $y=\phi(x)$ definita su tutto $\mathbb{R}$ ma in questo caso dato che non vale il TFI come va fatta la verifica?

Il teorema non vale (modulo le osservazioni precedenti) in $(0,0)$! Lui ti sta chiedendo se vale una versione globale, non dice che la funzione deve valere $0$ in $0$, cosa che sappiamo essere impossibile dal punto precedente.

[Anacleto13]

Il teorema non vale (modulo le osservazioni precedenti) in $ (0,0) $! Lui ti sta chiedendo se vale una versione globale, non dice che la funzione deve valere $ 0 $ in $ 0 $, cosa che sappiamo essere impossibile dal punto precedente.

Ok, fino a qui ci sono ma come faccio a verificare che esiste una $y=\phi(x)$ (cioè la versione globale) e la sua unicità? non ricordo proposizioni/teoremi a riguardo..

[otta96]

Devi ingegnarti, una cosa che può essere utile è l'idea che si usa nella versione locale del teorema.

[Anacleto13]

"otta96":Devi ingegnarti, una cosa che può essere utile è l'idea che si usa nella versione locale del teorema.

Beh, l'unica cosa che mi viene in mente di fare, dato che non vale in $(0,0)$, è quella di valutare un generico punto diverso dall'origine e vedere se vale il teorema

[otta96]

Devi capire se $AAx\inRR$ l'equazione $f(x,y)=0$ ammette un'unica soluzione in $y$.