Esercizio funzione continua

[tinny86]

Mi potreste aiutare gentilmente a risolvere questo esercizio?
Se f:[0,1]->[0,1] è continua allora esiste c appartenente [0,1] tale che f(c)=c

io proverei usando solo la definizione di continuità e cioè essendo c punto interno all'intervallo e f continua allora esiste un limite per x->c f(x)=f(c) ma non so se è giusta e come concludere.

[21zuclo]

Stai facendo riferimento al teorema dei valori intermedi?

Teorema dei valori intermedi:

Sia $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continua. Sia $f(a) Allora $\forall y_0$ t.c. $f(a)

se è questo la sua dimostrazione la si trova in qualsiasi libro di analisi. Se non ti è chiara, riporta qui e chiedi in quale punto di blocchi.

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[Sk_Anonymous]

@21zuclo: ? Questo è un classico esercizio che viene dato agli studenti di Analisi I, caso particolare di un teorema molto più generale, il Teorema del punto fisso di Brouwer.

@mimi_86: prova piuttosto a considerare la funzione \(\displaystyle g(x):=f(x)-x \) e a vedere se riesci a cavarne qualcosa utilizzando il teorema di esistenza degli zeri.

[21zuclo]

@ Delirium
chiedo scusa non lo sapevo, per ora non mi era ancora capitato. Va bé c'è sempre qualcosa da imparare

[ciampax]

@Delirium: in realtà quello che dice 21zuclo non è errato. Il fatto che $f$ sia continua in $[0,1]$ e a valori in $[0,1]$ implica che valga Weierstrass e che in particolare $0\le\min f\le \max f\le 1$. Per cui almeno "euristicamente" si sa che potrebbe esserci un punto interno al dominio sul quale è verificata la proprietà richiesta. Poi, ovviamente, per "determinare" tale punto conviene utilizzare la funzione data da Deliritum (che, per inciso, è quella che si usa per dimostrare il teorema dei valori intermedi utilizzando il teorema di esistenza degli zeri).

[tinny86]

ho considerato, come suggerito, la funzione g(x)=f(x)-x e per il teo dei valori intermedi ho

g(0)=f(0)-0>0 e g(1)=f(1)-1<0 ma non appartiene al dominio [0,1]x[0,1]
per il teo degli zeri esiste c appartenete a [0,1] tale che g(c)=f(c)-c=0 -> f(c)=c

[Sk_Anonymous]

@ciampax: ok giusto, ma il post in capothread non contiene l'enunciato del teorema dei valori intermedi, quanto un risultato che ne segue direttamente. Tutta lì la mia "obiezione".

[ciampax]

Ma sì, infatti non stavo a criticare la tua obiezione, Era solo per dire che, sostanzialmente, il metodo che hai suggerito si avvicina alla dimostrazione di tale teorema.