Esercizio funzione continua

[Maryse1]

Ho un problema con un esercizio, al quale non riesco proprio a trovare una soluzione...

Sia f: [a,b]-> $ RR $. Provare che se f è continua allora
sup f su (a,b)= max f su [a,b]

Sinceramente non so da dove partire, ho provato a usare le definizioni ma non arrivo a niente..
Grazie in anticipo!

[Paolo902]

Parola magica: Weierstrass.

[Maryse1]

Mmm si ci avevo pensato perchè Weierstrass mi dice che se è continua in quell'intervallo [a,b] allora f ammette max e min in [a,b]...quindi se l'intervallo non fosse chiuso e limitato, ma aperto il max è anche sup...giusto così?
grazie infinite!

[Paolo902]

Occhio, un max è sempre un sup.

Non è vero il viceversa, cioè un sup non è necessariamente un max (lo è qualora appartenga all'insieme: ti è chiaro questo?). W. ti dice sostanzialmente due cose: se hai una funzione continua definita su un compatto (un intervallo $[a,b]$ nel caso di funzioni di una variabile) allora:
1) gli estremi superiore e inferiore dell'immagine di $[a,b]$ mediante $f$ esistono finiti;
2) di più, tali estremi appartengono all'immagine, cioè sono dei min e dei max.

Tutto chiaro? Prova anche a usare la funzione "Cerca", abbiamo parlato molte volte di W. e compagnia qui in Analisi.

[Maryse1]

chiarissimo! grazie mille

[Paolo902]

Prego, figurati. Allora, dopo aver rispolverato il teorema di W. sei riuscita a risolvere?