Esercizio Funzione appartiene a spazi Lp al variare di beta
Salve a tutti. Non riesco a risolvere correttamente il seguente esercizio. Potete aiutarmi?
\(Sia\) \( \beta \ \epsilon\ R \ \) , \( \ x \ \epsilon\ R \ \) \(e\)
\( f(x):= \frac{sinx\ (1-cosx)\ |x-1|^\beta }{|arctanx|^{\beta+2}e^{|x|}}. \)
\(Per \ quali \ \beta \ \epsilon\ R \ \ si \ ha \ che \ la \ funzione \ f \epsilon\ L^1(R) ? \)
\(Per \ quali \ \beta \ \epsilon\ R \ \ si \ ha \ che \ la \ funzione \ f \epsilon\ L^1(1,\infty ) ? \)
\(Per \ quali \ \beta \ \epsilon\ R \ \ si \ ha \ che \ la \ funzione \ f \epsilon\ L^1(0,1) ? \)
Grazie mille!
\(Sia\) \( \beta \ \epsilon\ R \ \) , \( \ x \ \epsilon\ R \ \) \(e\)
\( f(x):= \frac{sinx\ (1-cosx)\ |x-1|^\beta }{|arctanx|^{\beta+2}e^{|x|}}. \)
\(Per \ quali \ \beta \ \epsilon\ R \ \ si \ ha \ che \ la \ funzione \ f \epsilon\ L^1(R) ? \)
\(Per \ quali \ \beta \ \epsilon\ R \ \ si \ ha \ che \ la \ funzione \ f \epsilon\ L^1(1,\infty ) ? \)
\(Per \ quali \ \beta \ \epsilon\ R \ \ si \ ha \ che \ la \ funzione \ f \epsilon\ L^1(0,1) ? \)
Grazie mille!
Risposte
\( f(x):= \frac{sinx\ (1-cosx)\ |x-1|^\beta }{|arctanx|^{\beta+2}e^{|x|}}. \)
\(Per \ quali \ \beta \ \epsilon\ R \ \ si \ ha \ che \ la \ funzione \ f \epsilon\ L^1(1,\infty ) ? \)
$\int \frac{sinx\ (1-cosx)\ |x-1|^\beta }{|arctanx|^{\beta+2}e^{|x|}} < \infty $
se $\beta> 0 $ il termine esponenziale al denominatore garantisce la sommabilità in un intorno di infinito
se $\beta< 0 $ dove verificare come si comporta l'integrando in un intorno di 1...
ok mi sono bloccato anche io
meglio aspettare l'intervento di qualche utente più esperto perchè interessa anche a me questo esercizio 
\(Per \ quali \ \beta \ \epsilon\ R \ \ si \ ha \ che \ la \ funzione \ f \epsilon\ L^1(1,\infty ) ? \)
$\int \frac{sinx\ (1-cosx)\ |x-1|^\beta }{|arctanx|^{\beta+2}e^{|x|}} < \infty $
se $\beta> 0 $ il termine esponenziale al denominatore garantisce la sommabilità in un intorno di infinito
se $\beta< 0 $ dove verificare come si comporta l'integrando in un intorno di 1...
ok mi sono bloccato anche io
meglio aspettare l'intervento di qualche utente più esperto perchè interessa anche a me questo esercizio
$ \int \frac{sinx\ (1-cosx)\ |x-1|^\beta }{|arctanx|^{\beta+2}e^{|x|}} < \infty $\( Per \ quali \ \beta \ \epsilon\ R \ \ si \ ha \ che \ la \ funzione \ f \epsilon\ L^1(1,\infty ) ? \)
Ehm, non sono io l'utente esperto ma mi intrometto... avrei un esame a breve sugli spazi Lp e quindi provo a fare l'esercizio, correggetemi se sbaglio!
Io direi che se $beta <0$ e $x to 1^+$, allora l'integranda $f(x)$ (che è positiva in un intorno destro di 1) è asintotica a:
$1/e (sin 1 (1-cos 1))/(arctan 1^(beta + 2)) (1)/|x-1|^(-beta)$ che è integrabile se $beta < -1$
Per $x to +infty$ invece al numeratore abbiamo $sinx\ (1-cosx) < L$ costante opportuna, quindi:
$f(x) ≤ L (2/pi)^(beta + 2) 1/(e^x (x - 1)^-beta)$ che è sicuramente integrabile perché c'è l'esponenziale
Quindi la funzione appartiene a $L^1 (1,+infty)$ per $beta >0, beta < -1$
Poi: caso $L^1 (0,1)$:
Per $x to 0^+$ si ha
$f(x) ~~ (sin x (1-cos x))/x^(beta + 2) ~~ (x(1-cosx))/x^(beta + 2) = (1-cosx)/x^2 1/x^(beta-1) ~~ 1/2 1/x^(beta-1)$
A questo punto se non ho sbagliato gli asintotici posso dire che la funzione è integrabile se $beta - 1 < 1, beta < 2$.
Per $x to 1^-$ si ha (come nel caso precedente)
$f(x) ~~ 1/e (sin 1 (1-cos 1))/(arctan 1^(beta + 2)) (1)/|x-1|^(-beta)$ che è integrabile se $beta < -1$
Riassumendo le due condizioni trovo che $f in L^1 (0,1)$ se $beta < - 1$, giusto...?
"Nick_93":
\( f(x):= \frac{sinx\ (1-cosx)\ |x-1|^\beta }{|arctanx|^{\beta+2}e^{|x|}}. \)
se $\beta< 0 $ dove verificare come si comporta l'integrando in un intorno di 1...
Ehm, non sono io l'utente esperto ma mi intrometto... avrei un esame a breve sugli spazi Lp e quindi provo a fare l'esercizio, correggetemi se sbaglio!
Io direi che se $beta <0$ e $x to 1^+$, allora l'integranda $f(x)$ (che è positiva in un intorno destro di 1) è asintotica a:
$1/e (sin 1 (1-cos 1))/(arctan 1^(beta + 2)) (1)/|x-1|^(-beta)$ che è integrabile se $beta < -1$
Per $x to +infty$ invece al numeratore abbiamo $sinx\ (1-cosx) < L$ costante opportuna, quindi:
$f(x) ≤ L (2/pi)^(beta + 2) 1/(e^x (x - 1)^-beta)$ che è sicuramente integrabile perché c'è l'esponenziale
Quindi la funzione appartiene a $L^1 (1,+infty)$ per $beta >0, beta < -1$
Poi: caso $L^1 (0,1)$:
Per $x to 0^+$ si ha
$f(x) ~~ (sin x (1-cos x))/x^(beta + 2) ~~ (x(1-cosx))/x^(beta + 2) = (1-cosx)/x^2 1/x^(beta-1) ~~ 1/2 1/x^(beta-1)$
A questo punto se non ho sbagliato gli asintotici posso dire che la funzione è integrabile se $beta - 1 < 1, beta < 2$.
Per $x to 1^-$ si ha (come nel caso precedente)
$f(x) ~~ 1/e (sin 1 (1-cos 1))/(arctan 1^(beta + 2)) (1)/|x-1|^(-beta)$ che è integrabile se $beta < -1$
Riassumendo le due condizioni trovo che $f in L^1 (0,1)$ se $beta < - 1$, giusto...?
Ciao Gendarmevariante a me sembra tutto corretto! Dato che anche te hai un esame a breve su questi argomenti, come risolveresti il seguente
Cioè, per quali valori di $\alpha \in \mathbb{R}$ la seguente funzione appartiene a $L_2[0,infty)$
$ f(x)=1/{\sqrt{|x-alpha+1/3|}|x+2|^alpha} $
Sicuramente per $alpha<0$ non ho sommabilità. Per $x \to infty$ , $alpha> 0$
però se $x=\alpha - \frac{1}{3}$
ora qual è il problema se $alpha> 1/3$
?
a me sembra tutto corretto! Dato che anche te hai un esame a breve su questi argomenti, come risolveresti il seguenteCioè, per quali valori di $\alpha \in \mathbb{R}$ la seguente funzione appartiene a $L_2[0,infty)$
$ f(x)=1/{\sqrt{|x-alpha+1/3|}|x+2|^alpha} $
Sicuramente per $alpha<0$ non ho sommabilità. Per $x \to infty$ , $alpha> 0$
però se $x=\alpha - \frac{1}{3}$
ora qual è il problema se $alpha> 1/3$
?
provo a dire la mia che mi sto esercitando anche io per una prova..
per essere sommabile deve valere:
$\int_0^oo |f(x)|^2 dx < oo$
il che diventa:
$\int 1/((x+2)^(2a) (x-a+1/3) ) dx$
dato che è una funzione 'radiale' cioè dipendente solo dalla x ...in coordinate polari diventa
$\int_0^(2\pi) x dx \int_0^oo (d(\theta)) /((x+2)^2a (x-a+1/3) )$
= $2 \pi \int_0^oo x dx /((x+2)^2a (x-a+1/3) )$
= $2 \pi \int_0^oo dx /(x^(2a-1)((1+2/x)^(2a) (x-a+1/3) ))$
e dunque una 'condizione' verrebbe da:
$2a-1<1$
$a<1$
ciò che mi turba, è quel $(x-a+1/3)$ non è che vien fuori qualche condizione anche da li? :S che dite voi?
per essere sommabile deve valere:
$\int_0^oo |f(x)|^2 dx < oo$
il che diventa:
$\int 1/((x+2)^(2a) (x-a+1/3) ) dx$
dato che è una funzione 'radiale' cioè dipendente solo dalla x ...in coordinate polari diventa
$\int_0^(2\pi) x dx \int_0^oo (d(\theta)) /((x+2)^2a (x-a+1/3) )$
= $2 \pi \int_0^oo x dx /((x+2)^2a (x-a+1/3) )$
= $2 \pi \int_0^oo dx /(x^(2a-1)((1+2/x)^(2a) (x-a+1/3) ))$
e dunque una 'condizione' verrebbe da:
$2a-1<1$
$a<1$
ciò che mi turba, è quel $(x-a+1/3)$ non è che vien fuori qualche condizione anche da li? :S che dite voi?
Ciò che mi confonde è il modulo sotto il segno di radice 
Il risultato dovrebbe essere $0 < \alpha < 1/3$
Il risultato dovrebbe essere $0 < \alpha < 1/3$
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