Esercizio, funzione a 2 incognite.
Buongiorno,
ho questo esercizio (già svolto) da fare e quindi da capire:
"Data la funzione $ z=3/2x^2 + 3/2y^2 -xy -3x + y -10$ determinare il tipo di quadrica e verificare inoltre se tale funzione assume valori positivi nel dominio D: $ { (x,y) : |x|<=1 , |y|<=1 } $. "
L'esercizio è molto semplice. Per prima cosa si determina il tipo di quadrica con la matrice associata e con il minore da calcolare.
Viene fuori un paraboloide ellittico. La funzione è continua su tutto R e quindi anche in D. Per il teorema di Weierstrass esistono il massimo ed il minimo assoluti. Inizio quindi a cercare i punti critici.
Calcolo le derivate parziali, l'hessiano, e trovo che il punto $P=(1,0)$ è un minimo relativo (che con un ragionamento si spiega che in realtà è minimo assoluto).
Fino a questo momento tutto bene, ho capito tutto ed è molto semplice. Adesso l'esercizio afferma:
"determiniamo ora il punto (o i punti) di massimo assoluto che, tenuto conto della forma della funzione, dovrà cadere necessariamente sulla frontiera. Osserviamo che la frontiera di D è costituita dai segmenti di estremi: $P1=(-1,-1), P2=(.1,1), P3=(1,1), P4=(1,-1) $. "
La mia domanda è quindi questa: Come si calcolano questi segmenti di frontiera?
grazie.
ho questo esercizio (già svolto) da fare e quindi da capire:
"Data la funzione $ z=3/2x^2 + 3/2y^2 -xy -3x + y -10$ determinare il tipo di quadrica e verificare inoltre se tale funzione assume valori positivi nel dominio D: $ { (x,y) : |x|<=1 , |y|<=1 } $. "
L'esercizio è molto semplice. Per prima cosa si determina il tipo di quadrica con la matrice associata e con il minore da calcolare.
Viene fuori un paraboloide ellittico. La funzione è continua su tutto R e quindi anche in D. Per il teorema di Weierstrass esistono il massimo ed il minimo assoluti. Inizio quindi a cercare i punti critici.
Calcolo le derivate parziali, l'hessiano, e trovo che il punto $P=(1,0)$ è un minimo relativo (che con un ragionamento si spiega che in realtà è minimo assoluto).
Fino a questo momento tutto bene, ho capito tutto ed è molto semplice. Adesso l'esercizio afferma:
"determiniamo ora il punto (o i punti) di massimo assoluto che, tenuto conto della forma della funzione, dovrà cadere necessariamente sulla frontiera. Osserviamo che la frontiera di D è costituita dai segmenti di estremi: $P1=(-1,-1), P2=(.1,1), P3=(1,1), P4=(1,-1) $. "
La mia domanda è quindi questa: Come si calcolano questi segmenti di frontiera?
grazie.
Risposte
Non è in generale un problema semplice scrivere esplicitamente la frontiera di un dominio; ogni caso fa un po' a sé se uno vuole scriverla. In questo caso un disegno di quel rettangolo mette in evidenza cosa sia la frontiera, che è proprio l'unione di quattro segmenti. Ora basta che parametrizzi i segmenti e riduci la funzione, restringendola ai vari segmenti, da 2 a 1 variabile. Attenzione ai vertici del rettangolo.
"Luca.Lussardi":
Non è in generale un problema semplice scrivere esplicitamente la frontiera di un dominio; ogni caso fa un po' a sé se uno vuole scriverla. In questo caso un disegno di quel rettangolo mette in evidenza cosa sia la frontiera, che è proprio l'unione di quattro segmenti. Ora basta che parametrizzi i segmenti e riduci la funzione, restringendola ai vari segmenti, da 2 a 1 variabile. Attenzione ai vertici del rettangolo.
Il concetto di frontiera mi è abbastanza chiaro in quanto è stato spiegato bene al corso e negli appunti.
Ma come faccio a parametrizzare? Mi puoi fare un esempio?
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