Esercizio Funzione
Provare che se f è una funzione continua su un intervallo [a,b] e derivabile su (a,b), con f(a) = f(b) = 0, allora
$$ \forall c \in \mathbb{R} \exists x \in (a,b) : cf(x)+f^1(x)=0 $$
Ho preso come funzione $$ f(x) = x^3-12x $$ con intervallo $$ [0,2 \surd3] $$ ma ne possiamo prendere una qualunque di funzione che soddisfi le condizioni iniziali...
Tale funzione rispetta le 3 ipotesi del Teorema di Rolle:
1) E' continua
2) E' derivabile perchè è un polinomio
3) f(0) = 0
$$ f(2 \surd3) = 24\surd3 - 24\surd3 = 0 $$
Faccio la derivata:
$f^1(x) = 3x^2-12$ e mi trovo x= -2 e x = 2 , prendo x=2 che è inclusa nel mio intervallo.
Allora esiste un punto compreso tra a e b in cui la derivata si annulla.
e adesso devo dimostrare che $$ \forall c \in \mathbb{R} \exists x \in (a,b) : cf(x)+f^1(x)=0 $$
Applichiamo il teorema di Weierstrass e procediamo con la nostra dimostrazione.. Sia $ x_0 $ un punto di massimo o di minimo interno ad A , esiste un intorno $I(x_0,r) $contenuto in A tale che $ \forall x \in A $ risulta $ f(x)\leqf(x_0) $.
Sia ora |h|< r , il rapporto incrementale = $ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $ . Poichè |h| < r , dunque $ f(x_0+h) \leq f(x_0) $. La funzione per ipotesi è derivabile in $x_0 $ ,allora esiste il limite del rapporto incrementale e con il teorema della permanenza del segno , otteniamo:
$ f^1(x) $ = $$\lim_{h\to 0^+} (f(x_0 + h) -f(x_0)\frac{h}{f} \leq 0 $$
$ f^1(x_0) $ = $$\lim_{h\to 0^-} (f(x_0 + h) -f(x_0)\frac{h}{f} \geq 0 $$
la derivata $ f^1(x_0) $ dovrà dunque essere contemporaneamente $\leq 0 $ e $ \geq 0 $ ; e questo è possibile solo se $f^1(x_0) = 0$ . Volevo sapere se ho sbagliato a fare questi procedimenti o nel caso come continuare la dimostrazione , grazie!!
$$ \forall c \in \mathbb{R} \exists x \in (a,b) : cf(x)+f^1(x)=0 $$
Ho preso come funzione $$ f(x) = x^3-12x $$ con intervallo $$ [0,2 \surd3] $$ ma ne possiamo prendere una qualunque di funzione che soddisfi le condizioni iniziali...
Tale funzione rispetta le 3 ipotesi del Teorema di Rolle:
1) E' continua
2) E' derivabile perchè è un polinomio
3) f(0) = 0
$$ f(2 \surd3) = 24\surd3 - 24\surd3 = 0 $$
Faccio la derivata:
$f^1(x) = 3x^2-12$ e mi trovo x= -2 e x = 2 , prendo x=2 che è inclusa nel mio intervallo.
Allora esiste un punto compreso tra a e b in cui la derivata si annulla.
e adesso devo dimostrare che $$ \forall c \in \mathbb{R} \exists x \in (a,b) : cf(x)+f^1(x)=0 $$
Applichiamo il teorema di Weierstrass e procediamo con la nostra dimostrazione.. Sia $ x_0 $ un punto di massimo o di minimo interno ad A , esiste un intorno $I(x_0,r) $contenuto in A tale che $ \forall x \in A $ risulta $ f(x)\leqf(x_0) $.
Sia ora |h|< r , il rapporto incrementale = $ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $ . Poichè |h| < r , dunque $ f(x_0+h) \leq f(x_0) $. La funzione per ipotesi è derivabile in $x_0 $ ,allora esiste il limite del rapporto incrementale e con il teorema della permanenza del segno , otteniamo:
$ f^1(x) $ = $$\lim_{h\to 0^+} (f(x_0 + h) -f(x_0)\frac{h}{f} \leq 0 $$
$ f^1(x_0) $ = $$\lim_{h\to 0^-} (f(x_0 + h) -f(x_0)\frac{h}{f} \geq 0 $$
la derivata $ f^1(x_0) $ dovrà dunque essere contemporaneamente $\leq 0 $ e $ \geq 0 $ ; e questo è possibile solo se $f^1(x_0) = 0$ . Volevo sapere se ho sbagliato a fare questi procedimenti o nel caso come continuare la dimostrazione , grazie!!
Risposte
In pratica hai dimostrato che la derivata si annulla nei punti di massimo e di minimo locale, ma questo ti servirà in un secondo momento... Provo a darti un hint (ma non sono sicuro che la soluzione che ho trovato sia giusta).
Puoi supporre che $f$ si annulli solo negli estremi dell'intervallo su cui è definita, e che sia positiva in ogni altro punto (perché?); a questo punto puoi dividere per $f(x)$ e riscrivere la tesi come ${f'(x)}/{f(x)}=-c$, quindi vuoi dimostrare che ${f'(x)}/{f(x)}$ (che potresti riscrivere in un certo modo) può assumere qualsiasi valore...
Puoi supporre che $f$ si annulli solo negli estremi dell'intervallo su cui è definita, e che sia positiva in ogni altro punto (perché?); a questo punto puoi dividere per $f(x)$ e riscrivere la tesi come ${f'(x)}/{f(x)}=-c$, quindi vuoi dimostrare che ${f'(x)}/{f(x)}$ (che potresti riscrivere in un certo modo) può assumere qualsiasi valore...
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