Esercizio funzione
Non ricordo se l'avevo riproposto o meno, ma comunque non lo trovo ed ho provato a svolgerlo cercando una soluzione..
Sia $ f: R->R $ una funzione continua. Per quali $ m, q in R $ la condizione
$ AA x inR $ $ f(x)>=|mx+q| $
Implica che esiste $x_0 in R$ tale che $AA x inR$ $f(x)>=f(x_0)$ ?
Allora l'esercizio se ho ben capito, mi chiede i valori di m e q nei reali tali che, esiste un punto $x_0$ sempre nei reali nel quale la funzione ha un punto di minimo assoluto.
Ho provato a dire così: Inizialmente osservo che se m=0 allora la condizione è falsa, infatti avrei $f(x)>= |q|$ e quindi se ad esempio mi prendo: $f(x)= |q| +e^x$ questa funzione sicuramente soddisfa la condizione però, se studio la derivata prima non ammette minimo assoluto. Studio ora il caso in qui m è diverso da 0.
La condizione $ f(x)>=|mx+q| $ mi implica che per x->+∞/-∞ la funzione tende a +∞ e quindi esiste un M nei reali tale che $f(x)>=M$ però da questo cosa ne ricavo?..non riesco comunque a proseguire..
Sia $ f: R->R $ una funzione continua. Per quali $ m, q in R $ la condizione
$ AA x inR $ $ f(x)>=|mx+q| $
Implica che esiste $x_0 in R$ tale che $AA x inR$ $f(x)>=f(x_0)$ ?
Allora l'esercizio se ho ben capito, mi chiede i valori di m e q nei reali tali che, esiste un punto $x_0$ sempre nei reali nel quale la funzione ha un punto di minimo assoluto.
Ho provato a dire così: Inizialmente osservo che se m=0 allora la condizione è falsa, infatti avrei $f(x)>= |q|$ e quindi se ad esempio mi prendo: $f(x)= |q| +e^x$ questa funzione sicuramente soddisfa la condizione però, se studio la derivata prima non ammette minimo assoluto. Studio ora il caso in qui m è diverso da 0.
La condizione $ f(x)>=|mx+q| $ mi implica che per x->+∞/-∞ la funzione tende a +∞ e quindi esiste un M nei reali tale che $f(x)>=M$ però da questo cosa ne ricavo?..non riesco comunque a proseguire..
Risposte
Osserva che $E=\{x \in \mathbb{R} | f(x) \leq M\}$ è un compatto (perché?) e che $\min_E f = \min_{\mathbb{R}}f$. Cosa ne concludi? 
Perchè è un compatto?..
Perché f è maggiore di una fissata costante $M$ (qualsiasi) al di fuori di un compatto. Usa la definizione di limite per mostrarlo.
Puoi prendere $M=f(x_0)$ per un $x_0 \in \mathbb{R}$, altrimenti se prendi un minorante stretto della funzione, $E$ è vuoto.
Se fai un disegno, capisci intuitivamente cosa si sta facendo: la funzione va a infinito da entrambe le parti ed è continua, quindi c'è necessariamente una "conca"; allora taglio il grafico con una retta (la costante $M$) e considero il minimo in quella porzione (tanto altrove la funzione è maggiore)
Puoi prendere $M=f(x_0)$ per un $x_0 \in \mathbb{R}$, altrimenti se prendi un minorante stretto della funzione, $E$ è vuoto.
Se fai un disegno, capisci intuitivamente cosa si sta facendo: la funzione va a infinito da entrambe le parti ed è continua, quindi c'è necessariamente una "conca"; allora taglio il grafico con una retta (la costante $M$) e considero il minimo in quella porzione (tanto altrove la funzione è maggiore)
Quindi il minimo sarebbe proprio M?
Nono. Però in questo modo ti riduci su un compatto per dimostrare che il minimo esiste.
Se $m\ne0$ allora dalle ipotesi abbiamo che:
\[f(x)\ge|mx+q|\ge0\qquad \Rightarrow\quad\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty,\]
per il teorema del confronto; ma allora per definizione di limite avremo che
\[\exists \,\,M>0 : \forall x\in(-\infty;-M]\cup[M;+\infty)\qquad \Rightarrow\quad f(x)\ge f(0);\]
inoltre, poichè $f$ è continua in $[-M,M]$ per Weierstrass ammetterà massimo e minimo, e quindi $\exists x_0\in[-M;M]$ tale che
\[f(x)\ge f(x_0);\]
infine, poichè $0\in[-M;M],$ $f(0)\ge f(x_0)$ e quindi $f(x)\ge f(x_0)$
\[f(x)\ge|mx+q|\ge0\qquad \Rightarrow\quad\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty,\]
per il teorema del confronto; ma allora per definizione di limite avremo che
\[\exists \,\,M>0 : \forall x\in(-\infty;-M]\cup[M;+\infty)\qquad \Rightarrow\quad f(x)\ge f(0);\]
inoltre, poichè $f$ è continua in $[-M,M]$ per Weierstrass ammetterà massimo e minimo, e quindi $\exists x_0\in[-M;M]$ tale che
\[f(x)\ge f(x_0);\]
infine, poichè $0\in[-M;M],$ $f(0)\ge f(x_0)$ e quindi $f(x)\ge f(x_0)$
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