Esercizio Fourier
salve a tutti... sapreste aiutarmi a portare questa funzione nel dominio del tempo antitrasformando? In particolare mi interesserebbe sapere che proprietà dovrei andare ad utilizzare nel caso in cui ce ne fosse bisogno
$Y(f)=[1/2+1/2*1/(1+2 j \omega a)][1- e^(-j \omega T/2)] U(f)$
rappresenta l'uscita di un sistema con ingresso un gradino di ampiezza 1 e durata T
$U(f)$ è la trasformata di un gradino di Heaviside
a costante
$Y(f)=[1/2+1/2*1/(1+2 j \omega a)][1- e^(-j \omega T/2)] U(f)$
rappresenta l'uscita di un sistema con ingresso un gradino di ampiezza 1 e durata T
$U(f)$ è la trasformata di un gradino di Heaviside
a costante
Risposte
Se stai cercando una risposta più "analitica rigorosa", ti consiglio di aspettare qualcun altro; se invece va bene anche in un altro modo più relativo alle comunicazioni, potresti ragionare così: al prodotto in frequenza corrisponde la convoluzione nel tempo. Quindi:
$Y(f)=[1/2+1/2*1/(1+j2\omegaa)][1-e^(-j\omegaT/2)]U(f)$
$y(t)=F^(-1){[1/2+1/2*1/(1+j2\omegaa)]}**F^(-1){1-e^(-j\omegaT/2)}**F^(-1){U(f)}$, dove con $**$ indico convoluzione.
Per la linearità dell'antitrasformata, si può scrivere:
$y(t)=[1/2F^(-1){1}+1/2F^(-1){1/[1+j2\omegaa]}]**[F^(-1){1}-F^(-1){e^(-j\omegaT/2)}]**F^(-1){U(f)}$.
E' evidente che $F^(-1){U(f)}=1(t)$ e, come è noto, $F^(-1){1}=\delta(t)$. Ne segue che:
$y(t)=[1/2\delta(t)+1/2F^(-1){1/[1+j2\omegaa]}]**[\delta(t)-\delta(t+T/2)]**1(t)$$=$
$=[1/2\delta(t)+1/(4a)e^(-1/(2a)t)*1(t)]**[\delta(t)-\delta(t+T/2)]**1(t)$.
$Y(f)=[1/2+1/2*1/(1+j2\omegaa)][1-e^(-j\omegaT/2)]U(f)$
$y(t)=F^(-1){[1/2+1/2*1/(1+j2\omegaa)]}**F^(-1){1-e^(-j\omegaT/2)}**F^(-1){U(f)}$, dove con $**$ indico convoluzione.
Per la linearità dell'antitrasformata, si può scrivere:
$y(t)=[1/2F^(-1){1}+1/2F^(-1){1/[1+j2\omegaa]}]**[F^(-1){1}-F^(-1){e^(-j\omegaT/2)}]**F^(-1){U(f)}$.
E' evidente che $F^(-1){U(f)}=1(t)$ e, come è noto, $F^(-1){1}=\delta(t)$. Ne segue che:
$y(t)=[1/2\delta(t)+1/2F^(-1){1/[1+j2\omegaa]}]**[\delta(t)-\delta(t+T/2)]**1(t)$$=$
$=[1/2\delta(t)+1/(4a)e^(-1/(2a)t)*1(t)]**[\delta(t)-\delta(t+T/2)]**1(t)$.
grazie mille gentilissimo... avevo provato anche io con la convoluzione solo che non sono riuscito a procedere come hai fatto tu... se volessi continuare con i 3 prodotti di convuluzione finali cosa potrei fare?
Potresti partire dal fatto che la convoluzione con una delta di Dirac $\delta(t-\tau)$, trasla la funzione convoluita nel punto in cui è centrata la delta. Ovvero, presa una generica $x(t)$, hai che:
$x(t)**\delta(t-\tau)=x(t-\tau)$
Qui potresti scegliere se convoluire il primo "blocco" con le due delta, oppure convoluire il gradino con le due delta.
Rimane in ogni caso espressa esplicitamente una convoluzione tra due parti.
$x(t)**\delta(t-\tau)=x(t-\tau)$
Qui potresti scegliere se convoluire il primo "blocco" con le due delta, oppure convoluire il gradino con le due delta.
Rimane in ogni caso espressa esplicitamente una convoluzione tra due parti.
ok grazie mille.... avrei un'altra domandina riguardo a quest'esercizio... come potrei iniziare per calcolare lo sviluppo in serie di questa forma d'onda di periodo T0?
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