Esercizio formule di gauss green
L'esercizio che voglio proporvi è il seguente:
Utilizzando le formule di Gauss Green, calcolare $int_(D) ydxdy$ dove D è il dominio racchiuso dalla curva $phi(t)=$$(cos^3t,sen^3t)$ con $tin[0,pi]$ e il segmento di estremi (-1,0) e (1,0).
Allora sfuttando i consigli di ciampax e il teorema di Green si ha:
$int_(D) y dxdy=$$ int_(C)xy dy$ dove C è il bordo del dominio.
Parametrizzando otteniamo:
$x=cos^3t$
$y=sen^3t$ per cui $dy=3sen^2tcostdt$.
Ora ho poi calcolato la retta che ha passa per gli estremi indicati nella traccia dell esercizio.Tale retta è $y=0$
Sostituendo si avrebbe che $xy=0$ e $dy=0$ e dunque l integrale da calcolare si riduce al solo integrale curvilineo lungo la curva:
$ int_(C)xy dy=$$int_(0)^(pi)cos^3tsen^3t 3sen^2tcostdt$.Svolgendo i calcoli dovrei trovarmi.Qualcuno mi conferma questi passaggi?Grazie anticipatamente
Utilizzando le formule di Gauss Green, calcolare $int_(D) ydxdy$ dove D è il dominio racchiuso dalla curva $phi(t)=$$(cos^3t,sen^3t)$ con $tin[0,pi]$ e il segmento di estremi (-1,0) e (1,0).
Allora sfuttando i consigli di ciampax e il teorema di Green si ha:
$int_(D) y dxdy=$$ int_(C)xy dy$ dove C è il bordo del dominio.
Parametrizzando otteniamo:
$x=cos^3t$
$y=sen^3t$ per cui $dy=3sen^2tcostdt$.
Ora ho poi calcolato la retta che ha passa per gli estremi indicati nella traccia dell esercizio.Tale retta è $y=0$
Sostituendo si avrebbe che $xy=0$ e $dy=0$ e dunque l integrale da calcolare si riduce al solo integrale curvilineo lungo la curva:
$ int_(C)xy dy=$$int_(0)^(pi)cos^3tsen^3t 3sen^2tcostdt$.Svolgendo i calcoli dovrei trovarmi.Qualcuno mi conferma questi passaggi?Grazie anticipatamente
Risposte
Perfetto.
ciampax giusto un altra domanda, ho il seguente esercizio:
Trovare l 'equazione del piano tangente alla superficie $x^2+y^2-z=0$ nel punto $(1,1,2)$.
Calcolare, poi, il volume della parte di cilindro ${(x,y):(x-3)^2+(y-3)^2<=1/4}$ compresa tra il piano z=0 ed il piano trovato.
Allora , premettendo che non mi sono mai interessato fin ora di volumi ho capito che si calcolano con integrali tripli.Ho provato però ad ovviare al problema.Ho calcolato il piano tangente alla superfice assegnata che (a meno di errori di calcolo) dovrebbe avere equazione : $2x+2y-z-2=0$ ed ho calcolato la distanza tra i due piani che dovrebbe corrispondere all altezza del cilindro di cui si chiede il volume.Ora l altezza mi viene $h=2/3$.Ora posso calcolare l area della circonferenza mediante questo integrale doppio:
$int_(D)dxdy$ dove D=${(x,y):(x-3)^2+(y-3)^2<=1/4}$ moltiplicare per l altezza e concludere l esercizio?
Se si come passare alle coordinate polari in questo caso? Grazie
Trovare l 'equazione del piano tangente alla superficie $x^2+y^2-z=0$ nel punto $(1,1,2)$.
Calcolare, poi, il volume della parte di cilindro ${(x,y):(x-3)^2+(y-3)^2<=1/4}$ compresa tra il piano z=0 ed il piano trovato.
Allora , premettendo che non mi sono mai interessato fin ora di volumi ho capito che si calcolano con integrali tripli.Ho provato però ad ovviare al problema.Ho calcolato il piano tangente alla superfice assegnata che (a meno di errori di calcolo) dovrebbe avere equazione : $2x+2y-z-2=0$ ed ho calcolato la distanza tra i due piani che dovrebbe corrispondere all altezza del cilindro di cui si chiede il volume.Ora l altezza mi viene $h=2/3$.Ora posso calcolare l area della circonferenza mediante questo integrale doppio:
$int_(D)dxdy$ dove D=${(x,y):(x-3)^2+(y-3)^2<=1/4}$ moltiplicare per l altezza e concludere l esercizio?
Se si come passare alle coordinate polari in questo caso? Grazie
Attento perché l'altezza è variabile: il piano che hai determinato non è parallelo al piano $z=0$, quindi non puoi semplicemente procedere come hai fatto. In realtà, in questo esercizio basta usare gli integrali doppi. Infatti, se vuoi calcolare il volume di un cilindroide di base $D$, dove $D$ è un dominio nel piano $xOy$ (di equazione $z=0$) e di altezza determinata dalla funzione $z=f(x,y)$, basta allora calcolare
[tex]$\iint_D f(x,y)\ dx\ dy$[/tex]
la funzione in questione sarà proprio quella del piano che devi determinare, e quindi $z=f(x,y)=2(x+y-1)$. Per il passaggio in coordinate polari, ti consiglio il seguente (coordinate polari generalizzate di centro $(a,b)$)
[tex]$x=a+\rho\cos\theta,\ y=b+\rho\sin\theta$[/tex]
dove $(a,b)$ è il centro della circonferenza (nel tuo caso $(3,3)$). Ovviamente, con questa trasformazione trovi la limitazione delle nuove variabili [tex]$0\le\rho\le\frac{1}{2},\ o\le\theta\le2\pi$[/tex].
[tex]$\iint_D f(x,y)\ dx\ dy$[/tex]
la funzione in questione sarà proprio quella del piano che devi determinare, e quindi $z=f(x,y)=2(x+y-1)$. Per il passaggio in coordinate polari, ti consiglio il seguente (coordinate polari generalizzate di centro $(a,b)$)
[tex]$x=a+\rho\cos\theta,\ y=b+\rho\sin\theta$[/tex]
dove $(a,b)$ è il centro della circonferenza (nel tuo caso $(3,3)$). Ovviamente, con questa trasformazione trovi la limitazione delle nuove variabili [tex]$0\le\rho\le\frac{1}{2},\ o\le\theta\le2\pi$[/tex].
Grazie mille... *_*
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