Esercizio formula di Taylor
Ho un problema con questo esercizio, nel senso che non so proprio da cosa partire per svolgerlo.
Il testo dice: scrivere la formula di Taylor con centro nel punto $ x0 = pi /2 $ arrestata al terzo ordine e resto di Peano relativa alla funzione
$ F(x) = int_(pi/2 )^(x) log(2-sent) dt $
voi come fareste ? devo svolgere prima l'integrale definito e poi scriverne la formula di Taylor ?
Il testo dice: scrivere la formula di Taylor con centro nel punto $ x0 = pi /2 $ arrestata al terzo ordine e resto di Peano relativa alla funzione
$ F(x) = int_(pi/2 )^(x) log(2-sent) dt $
voi come fareste ? devo svolgere prima l'integrale definito e poi scriverne la formula di Taylor ?
Risposte
Supponendo tu conosca la formula per lo sviluppo di Taylor, parto da $F(pi/2)=0$ poiché equivale all'integrale tra lo stesso punto.
Passiamo quindi alla derivata prima $F'(x)=log(2-senx)$ da cui $F'(pi/2)=0$.
La derivata seconda è $F''(x)=(-cosx)/(2-senx)$ da cui $F''(pi/2)=0$.
Vediamo ora se la derivata terza ci dice qualcosa di diverso $F'''(x)=[senx(2-senx)-(cosx)^2]/(2-senx)^2$ da cui $F'''(pi/2)=1$
Quindi il nostro sviluppo di Taylor di $F(x)=Pn(x) + Rn(x)$ centrato in pi/2 fino al terzo ordine sarà:
$F(x)=[(x-pi/2)^3]/(3!) + o(x^3)$
Passiamo quindi alla derivata prima $F'(x)=log(2-senx)$ da cui $F'(pi/2)=0$.
La derivata seconda è $F''(x)=(-cosx)/(2-senx)$ da cui $F''(pi/2)=0$.
Vediamo ora se la derivata terza ci dice qualcosa di diverso $F'''(x)=[senx(2-senx)-(cosx)^2]/(2-senx)^2$ da cui $F'''(pi/2)=1$
Quindi il nostro sviluppo di Taylor di $F(x)=Pn(x) + Rn(x)$ centrato in pi/2 fino al terzo ordine sarà:
$F(x)=[(x-pi/2)^3]/(3!) + o(x^3)$
Mi sa che non ho proprio capito...anche perché a lezione di esercizi così non ne abbiamo mai fatti.
Ma il $ log(2-sent) $ può essere visto come sviluppo di funzione elementare di $ log(1+x) $ con x=senx ?
Se sì sarebbe $ senx= x-x^3/(3!)+x^5/(5!) +(-1)^(n)x^(2n+1)/(2n+1)!+R(x^(2n+2)) $ dove la mia $ x $ è data dagli estremi dell'integrale?
Scusa la banalità delle domande ma questo esercizio l'ho preso da testi di esame, e non riesco a trovare esempi simili online...
Ma il $ log(2-sent) $ può essere visto come sviluppo di funzione elementare di $ log(1+x) $ con x=senx ?
Se sì sarebbe $ senx= x-x^3/(3!)+x^5/(5!) +(-1)^(n)x^(2n+1)/(2n+1)!+R(x^(2n+2)) $ dove la mia $ x $ è data dagli estremi dell'integrale?
Scusa la banalità delle domande ma questo esercizio l'ho preso da testi di esame, e non riesco a trovare esempi simili online...
Il tuo ragionamento è corretto spesso si usa sviluppare le funzioni semplici e poi sostituirci i valori, il problema è che qui devi sviluppare una funzione integrale e, come se non bastasse tu hai scritto lo sviluppo del seno centrato in 0, ma il nostro esercizio ce lo chiede in $pi/2$.
Cosa ho fatto io? Ho semplicemente sviluppato le derivate della F in $pi/2$ che come sai servono nello sviluppo di Taylor.
Considerando che $F(pi/2)$ vale 0 perché rappresenta l'area della funzione tra lo stesso punto, $F'(pi/2)$ vale 0, $F''(pi/2)$ vale 0 per quanto fatto sopra, allora i primi tre termini del nostro sviluppo sono nulli. La derivata terza in $pi/2$ vale 1 ecco allora che il nostro sviluppo fino al terzo ordine con resto di Peano sarà:
$F(x)=((x-pi/2)^3)/(3!) + o(x^3)$ spero di esser stato più chiaro.
Cosa ho fatto io? Ho semplicemente sviluppato le derivate della F in $pi/2$ che come sai servono nello sviluppo di Taylor.
Considerando che $F(pi/2)$ vale 0 perché rappresenta l'area della funzione tra lo stesso punto, $F'(pi/2)$ vale 0, $F''(pi/2)$ vale 0 per quanto fatto sopra, allora i primi tre termini del nostro sviluppo sono nulli. La derivata terza in $pi/2$ vale 1 ecco allora che il nostro sviluppo fino al terzo ordine con resto di Peano sarà:
$F(x)=((x-pi/2)^3)/(3!) + o(x^3)$ spero di esser stato più chiaro.
Credo di aver capito 
Pongo un esercizio simile per vedere se ho capito come svolgere questo tipo di esercizi: la traccia è la stessa solo va fermata al secondo ordine con centro in 1.
$ F(x)=int_(1)^(x) sin(pi x^2) dx $
$ F(x)=sin(pi x^2) -> F(1)=sinpi = 0 $
$ F'(x)=2pi xcos(pi x^2) -> F'(1)=2picos(pi) = -2pi $
$ F''(x)=2pi xcos(pi x^2)-2pix^2sin(pix^2) -> F''(1)=2picos(pi)-2pisin(pi) = -2pi $
quindi risulta $ F(x)= 0 -2pi(x-1)-(2pi)/(2!)(x-1)^2 $
è corretto ?
Pongo un esercizio simile per vedere se ho capito come svolgere questo tipo di esercizi: la traccia è la stessa solo va fermata al secondo ordine con centro in 1.
$ F(x)=int_(1)^(x) sin(pi x^2) dx $
$ F(x)=sin(pi x^2) -> F(1)=sinpi = 0 $
$ F'(x)=2pi xcos(pi x^2) -> F'(1)=2picos(pi) = -2pi $
$ F''(x)=2pi xcos(pi x^2)-2pix^2sin(pix^2) -> F''(1)=2picos(pi)-2pisin(pi) = -2pi $
quindi risulta $ F(x)= 0 -2pi(x-1)-(2pi)/(2!)(x-1)^2 $
è corretto ?
No, mi sa che devi riguardarti il Teorema Fondamentale del calcolo integrale perché mi sbagli la derivata della funzione integrale...
$ F(x)=int_(1)^(x) sin(pi x^2) dx $
$ F(1)= 0 $
$ F'(x)=sin(pi x^2) -> F'(1)=0 $
$ F''(x)=2pi xcos(pi x^2) -> F''(1)=-2pi $
$ F(x)=-(pi)(x-1)^2 + o(x^2) $
giusto ora ?
$ F(1)= 0 $
$ F'(x)=sin(pi x^2) -> F'(1)=0 $
$ F''(x)=2pi xcos(pi x^2) -> F''(1)=-2pi $
$ F(x)=-(pi)(x-1)^2 + o(x^2) $
giusto ora ?
Si, direi che adesso ci siamo
"Tom1092":
Si, direi che adesso ci siamo
Grazie per l'aiuto, gentilissimo
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