Esercizio forme differenziali
Ciao a tutti,ho un paio di domande su questo esercizio:
Studiare la seguente forma differenziale:
$w=(x/(x^2 − y^2) + x − 1)dx+(cos y −y/(x^2 − y^2))dy$
e calcolarne, se possibile, la primitiva che si annulla nel punto $(1, 0)$;
Calcolare l’integrale curvilineo di w esteso all’ arco di parabola $y=x^2$ con x appartenente a $ [2, 3] $orientato nel verso
crescente dell’asse delle ascisse.
Allora innanzitutto ho trovato l'insieme di definizione della forma differenziale: $x ≠+-y$;
poi poichè le derivate in croce sono uguali la forma è chiusa.Ora non mi trovo in un insieme semplicemente connesso,quindi come faccio a determinare se la forma esatta?Ho provato ugualmente a determinare una primitiva (deduco che se esiste una primitiva la forma è esatta??): $F(x,y)=x^2/2-x+1/2log(x^2-y^2)+siny+c$
Poi per calcolare l'integrale curvilineo ho disegnato l'arco di parabola e ho trovato che il punto finale è $B(3,9)$ e il punto iniziale $ A(2,4)$;a questo punto potrei applicare il teorema che mi dice che l'integrale curvilineo di una forma differenziale dipende solo da punto iniziale e punto finale,e quindi mi vado a calcolare $F(3,9)-F(2,4)$ ,ma il logaritmo che compare nella primitiva non è definito per questi punti,come posso fare? Grazie a chiunque mi risponderà!
Studiare la seguente forma differenziale:
$w=(x/(x^2 − y^2) + x − 1)dx+(cos y −y/(x^2 − y^2))dy$
e calcolarne, se possibile, la primitiva che si annulla nel punto $(1, 0)$;
Calcolare l’integrale curvilineo di w esteso all’ arco di parabola $y=x^2$ con x appartenente a $ [2, 3] $orientato nel verso
crescente dell’asse delle ascisse.
Allora innanzitutto ho trovato l'insieme di definizione della forma differenziale: $x ≠+-y$;
poi poichè le derivate in croce sono uguali la forma è chiusa.Ora non mi trovo in un insieme semplicemente connesso,quindi come faccio a determinare se la forma esatta?Ho provato ugualmente a determinare una primitiva (deduco che se esiste una primitiva la forma è esatta??): $F(x,y)=x^2/2-x+1/2log(x^2-y^2)+siny+c$
Poi per calcolare l'integrale curvilineo ho disegnato l'arco di parabola e ho trovato che il punto finale è $B(3,9)$ e il punto iniziale $ A(2,4)$;a questo punto potrei applicare il teorema che mi dice che l'integrale curvilineo di una forma differenziale dipende solo da punto iniziale e punto finale,e quindi mi vado a calcolare $F(3,9)-F(2,4)$ ,ma il logaritmo che compare nella primitiva non è definito per questi punti,come posso fare? Grazie a chiunque mi risponderà!
Risposte
le rette $y=x$ e $y=-x$ dividono il piano in 4 parti
la forma differenziale è localmente esatta in ognuna di queste 4 parti
il problema è che hai scritto un'espressione della primitiva che non è quella che va bene per la parte di piano in cui si trova l'arco di parabola
la forma differenziale è localmente esatta in ognuna di queste 4 parti
il problema è che hai scritto un'espressione della primitiva che non è quella che va bene per la parte di piano in cui si trova l'arco di parabola
in che modo devo calcolarne un'altra? 
Come posso fare a capire qual è quella che và bene per la parte di piano in cui si trova l'arco?
Come posso fare a capire qual è quella che và bene per la parte di piano in cui si trova l'arco?
è più semplice di quello che credi
la verità è che dimenticate sempre di mettere l'argomento del logaritmo in valore assoluto
una primitiva è $F(x,y)=x^2/2-x+1/2log(y^2-x^2)+seny$ perchè nella parte di piano in cui si trova la curva si ha $|x^2-y^2|=y^2-x^2$
edit : ho corretto il post precedente in modo che sia più chiaro
la verità è che dimenticate sempre di mettere l'argomento del logaritmo in valore assoluto
una primitiva è $F(x,y)=x^2/2-x+1/2log(y^2-x^2)+seny$ perchè nella parte di piano in cui si trova la curva si ha $|x^2-y^2|=y^2-x^2$
edit : ho corretto il post precedente in modo che sia più chiaro
Sei stato molto chiaro! Grazie mille !!
Grazie mille !!
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