Esercizio forma differenziale esatta

[alexandrosfesta]

Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto con questa tipologia di esercizi sulle forme differenziali:

\(\displaystyle \omega = M(x,y)dx + (e^(xy) *senx)dy , con M(x,0)=0. \)
-Determinare M in modo che \(\displaystyle \omega \) sia esatta.
Io avevo iniziato facendo l'integrale del \(\displaystyle b(x,y) \)e ottenevo come risultato: \(\displaystyle sin(x)/x * e^(xy) + g(x). \)
Poi ho derivato questo risultato rispetto ad \(\displaystyle x \) ho posto il risultato uguale alla \(\displaystyle M(x,y) \), ma poi non so come andare avanti.
Spero che qualcuno possa aiutarmi, grazie.

[anonymous_0b37e9]

Dovresti imporre che sia almeno chiusa:

$[(delM)/(dely)=e^(xy)(ysinx+cosx)] rarr [M(x,y)=e^(xy)((ysinx)/x+cosx/x-sinx/x)+C(x)]$

$[M(x,0)=0] rarr [C(x)=sinx/x-cosx/x]$

In definitiva:

$[M(x,y)=e^(xy)((ysinx)/x+cosx/x-sinx/x)+sinx/x-cosx/x]$

[alexandrosfesta]

"anonymous_0b37e9":Dovresti imporre che sia almeno chiusa:

$[(delM)/(dely)=e^(xy)(ysinx+cosx)] rarr [M(x,y)=e^(xy)((ysinx)/x+cosx/x-sinx/x)+C(x)]$

$[M(x,0)=0] rarr [C(x)=sinx/x-cosx/x]$

In definitiva:

$[M(x,y)=e^(xy)((ysinx)/x+cosx/x-sinx/x)+sinx/x-cosx/x]$

Ti ringrazio. Solo che non ho ben capito nel secondo passaggio \(\displaystyle M(x,y) \) a cosa è uguale...