Esercizio forma differenziale
Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio, potreste aiutarmi?
Sia g: \(\displaystyle R^{2} \) -> R una funzione in 2 variabili con \(\displaystyle g \in C^{1} / R^{2} \)
Sapendo che g(x,0) = x determinare g in modo tale che la forma differenziale sia esatta in \(\displaystyle R^{2} \):
\(\displaystyle \omega = g(x,y) dx + (3-y)\cdot e^{x-y} dy \)
ed in seguito trovare una primitiva appropriata da eguagliare a g(x,0) = x
Io procedo così:
\(\displaystyle \frac{db}{dx} = (3-y)\cdot e^{x-y} = \frac{da}{dy} \)
In questo caso la F.D. è chiusa, e poichè è semplicemente connessa, allora è anche esatta!
Cerco una primitiva:
\(\displaystyle \int (3-y)\cdot e^{x-y} dy = (y-2)\cdot e^{x-y} + \varphi (x) \)
da qui in poi non saprei come procedere, penso che dovrei fare così:
derivo tale risultato rispetto ad x:
\(\displaystyle \frac{df}{dx} = (y-2)\cdot e^{x-y} + \varphi (x) = (y-2)\cdot e^{x-y} + \varphi ' (x) \)
fino qui ho fatto bene? Poi come dovrei continuare?
Grazie per l'aiuto
Sonia
Sia g: \(\displaystyle R^{2} \) -> R una funzione in 2 variabili con \(\displaystyle g \in C^{1} / R^{2} \)
Sapendo che g(x,0) = x determinare g in modo tale che la forma differenziale sia esatta in \(\displaystyle R^{2} \):
\(\displaystyle \omega = g(x,y) dx + (3-y)\cdot e^{x-y} dy \)
ed in seguito trovare una primitiva appropriata da eguagliare a g(x,0) = x
Io procedo così:
\(\displaystyle \frac{db}{dx} = (3-y)\cdot e^{x-y} = \frac{da}{dy} \)
In questo caso la F.D. è chiusa, e poichè è semplicemente connessa, allora è anche esatta!
Cerco una primitiva:
\(\displaystyle \int (3-y)\cdot e^{x-y} dy = (y-2)\cdot e^{x-y} + \varphi (x) \)
da qui in poi non saprei come procedere, penso che dovrei fare così:
derivo tale risultato rispetto ad x:
\(\displaystyle \frac{df}{dx} = (y-2)\cdot e^{x-y} + \varphi (x) = (y-2)\cdot e^{x-y} + \varphi ' (x) \)
fino qui ho fatto bene? Poi come dovrei continuare?
Grazie per l'aiuto
Sonia
Risposte
Non vedo un'equazione in $g$, che devi scrivere se vuoi determinare $g$...
Buonasera prof. Lussardi, è proprio quell'equazione che non saprei come "montare". Potrebbe essere così:
\(\displaystyle g(x,0) = (y-2)\cdot e^{x-y} + \varphi ' (x) = -2e^{x} + \varphi ' (x) = -2e^{x} + (2e^{x} + x) \)
\(\displaystyle g(x,y) = (y-2)\cdot e^{x-y} + 2e^{x} +x \)
???
\(\displaystyle g(x,0) = (y-2)\cdot e^{x-y} + \varphi ' (x) = -2e^{x} + \varphi ' (x) = -2e^{x} + (2e^{x} + x) \)
\(\displaystyle g(x,y) = (y-2)\cdot e^{x-y} + 2e^{x} +x \)
???
"sonia84":
Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio, potreste aiutarmi?
Sia g: \(\displaystyle R^{2} \) -> R una funzione in 2 variabili con \(\displaystyle g \in C^{1} / R^{2} \)
Sapendo che g(x,0) = x determinare g in modo tale che la forma differenziale sia esatta in \(\displaystyle R^{2} \):
\(\displaystyle \omega = g(x,y) dx + (3-y)\cdot e^{x-y} dy \)
ed in seguito trovare una primitiva appropriata da eguagliare a g(x,0) = x
Io procedo così:
\(\displaystyle \frac{db}{dx} = (3-y)\cdot e^{x-y} = \frac{da}{dy} \)
Non va bene.
Se hai una forma differenziale $\omega = f(x,y)dx+g(x,y)dy$, le derivate miste devono essere uguali cioè: $(\partial f)/(\partial y) = (\partial g)/(\partial x)$, ma non hai fatto questo...
In questo caso la F.D. è chiusa, e poichè è semplicemente connessa, allora è anche esatta!
Cerco una primitiva:
\(\displaystyle \int (3-y)\cdot e^{x-y} dy = (y-2)\cdot e^{x-y} + \varphi (x) \)
da qui in poi non saprei come procedere, penso che dovrei fare così:
derivo tale risultato rispetto ad x:
\(\displaystyle \frac{df}{dx} = (y-2)\cdot e^{x-y} + \varphi (x) = (y-2)\cdot e^{x-y} + \varphi ' (x) \)
fino qui ho fatto bene? Poi come dovrei continuare?
Grazie per l'aiuto
Sonia
Tutto chiaro adesso...devo porre la condizione che la derivata parziale di g(x,y) sia la stessa di quella di f(x,y), quindi integro questa derivata parziale per dg e ottengo g(x,y) = primitiva + c(x) 
eguaglio quindi la primitiva + c(x) con la condizione iniziale g(x,0) e da qui ricavo c(x)
eguaglio quindi la primitiva + c(x) con la condizione iniziale g(x,0) e da qui ricavo c(x)
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