Esercizio Flusso e Divergenza

[Frantziscu1]

Ciao a tutti! Ho un esercizio tratto da un'esame di analisi 2.
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F(x,y,z) = (y, x, z*log(x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2)) $ attraverso $ D={sqrt(x^2+y^2)
Premetto che non ho ben chiaro come sia fatto il solido, inizio con l'applicare il teorema della divergenza.
Ho che $ div(F) = log(x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2) $;
considero $\int int int_D div(F) dxdydz = \int int int_(D1) div(F) dxdydz + \int int int_(D2) div(F) dxdydz $ (su questo vorrei una conferma).

Svolgo i calcoli riferiti a D1:
$ \int int int_(D1) log(x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2) dxdydz = \int int_(A1) dxdy int_{sqrt(x^2+y^2)}^{sqrt(3)sqrt(x^2+y^2)} log(x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2) $$ = \int int_(A1) dxdy [sqrt(3)log(x^2+y^2)-log(x^2+y^2)] $
e passo alle coordinate cilindriche: $ \int int [sqrt(3)log(\rho^2)-log(\rho^2)]\rho*d\rho d\phi = (sqrt(3)-1)*\int int \rho log(\rho^2)d\rho d\phi$.

Ora, come faccio a determinare gli estremi di integrazione?
Grazie in anticipo!

[ciampax]

Prova a sostituire le coordinate cilindriche nelle condizioni che forniscono il dominio $D$.

[Frantziscu1]

Ottengo $ \rho La prima non mi dice niente, per quanto riguarda la seconda ho studiato la disequazione $-\rho^2-\rho+6>0 $ e ho ottenuto per $\rho$ valori compresi tra -3 e 2. Sono questi gli estremi per il 2°dominio? E per il primo?

[ciampax]

No, sbagli. Ti suggerivo di fare questo cambiamento e disegnare, nel piano $\rho O z$ le varie curve che vengono fuori, così da capire che relazione ci debba essere tra $\rho$ e $z$. Per quanto riguarda $\theta$, visto che non appare esplicitamente, puoi concludere che?

[Frantziscu1]

Ok ora provo a svolgere. Direi che $\theta$ varia tra 0 e 2$\pi$

[Frantziscu1]

Vediamo se ho capito ho individuato in tutto tre coni.

Inizio con il dominio 2 $ sqrt(x^2+y^2) $ z<6-x^2-y^2 $ posto z=0 trovo $ x^2+y^2<6 $ cioè il cono ha base una circonferenza di raggio $r=sqrt(6)$
posto x=y=0 ottengo z=6, valore riferito al vertice del cono. $ sqrt(x^2+y^2)
Dominio 1 $ sqrt(x^2+y^2) Le disequazioni sono riferite a due coni circolari retti identici, di cui uno ruotato secondo il coefficiente $sqrt(3)$. Anche per D1 gli estremi di integrazione sono $ \rho in [0;sqrt(6)]; \theta in [0,2\pi] $.

È corretto?

[ciampax]

Ma come fai a mescolare le coordinate? Se lavori con $\rho,\theta,z$ continua ad usare quelle. Che te ne fai di $x,y$?

[Frantziscu1]

Le coordinate $x,y,z$ mi sono servite per individuare le equazioni dei solidi, non so, il ragionamento è corretto? In caso contrario non saprei proprio come procedere.

[ciampax]

Il problema è che fai proprio un ragionamento errato a priori. Visto che vuoi usare il cambiamento di coordinate, usalo per tutto, non a spizzichi e mozzichi. Dunque, usando il teorema della divergenza, prima di tutto devi verificare che il solido sia chiuso, altrimenti ti serviranno delle superficie opzionali per "chiudere" tale dominio. Dal momento che usiamo le coordinate cilindriche, il dominio assume la seguente forma
$$D'=\{\rho Se disegni le curve
$$z=\rho,\ z=\sqrt{3}\rho,\ z=6-\rho^2$$
in un piano cartesiano con $\rho$ sulle ascisse e $z$ sulle ordinate, dovresti riuscire a capire come far variare $z,\rho$ una in funzione dell'altra.

P.S.: siamo sicuri che nella definizione di $D$ ci sia $\cup$ e non $\cap$?