Esercizio flusso di un campo vettoriale uscente

[maryenn1]

Ciao a tutti non capisco come impostare gli esercizi di questo tipo:
Calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x, y, z) = x i+yj +zk$ uscente dalla porzione di paraboloide di
equazione $z = 1 − x^2 − y^2 $contenuta nel semispazio $z >= 0$
Qualcuno può aiutarmi?

[Frink1]

Direi che qui puoi usare tranquillamente sia il metodo standard che il teorema della divergenza, sono calcoli piuttosto semplici. Scegli con quale dei due procedere, e poi vediamo se e dove sbagli...

[maryenn1]

Allora io inizierei applicando il teorema della divergenza:
$divF(x,y,z)=1+1+1=3$
Il flusso è dato dall'integrale:
$3∫∫∫dV=3∫∫∫dxdydz$
Ma non riesco a capire su quali estremi integrare!

[Frink1]

Siccome $0<=z<=1$, io spezzerei l'integrale triplo in un integrale doppio in $dx$ e $dy$ per poi integrare il resto singolarmente su $z$. Considera il dominio come $x^2+y^2<=1-z$ e concludi...

[maryenn1]

Scusami ma non riesco a calcolare l'integrale doppio in dx e dy,cioè non ho ben capito come scrivere gli estremi di integrazione dato quel dominio!

[Frink1]

Cosa ne pensi delle coordinate cilindriche?

Poni $x=rho*cos(theta)$ e $y=rho*sin(theta)$ e calcola gli estremi per $rho$ e $theta$...

[maryenn1]

Sì ci avevo pensato e ho ricavato:
$p^2<=1-z$ ma poi non so come procedere!

[maryenn1]

Okok ho risolto grazie per i tuoi suggerimenti Potresti aiutarmi anche con quest'altro punto dell'esercizio?
Calcolare il flusso di F attraverso la frontiera del solido:
$E = {(x, y, z) ∈ R^3 : 0 <= z<=  1 − x^2 − y^2}$