Esercizio flusso di un campo vettoriale
Ciao a tutti,qualcuno potrebbe darmi una mano ad impostare con questo esercizio?
Calcolare il flusso del campo vettoriale $F = 3yi−2xzj+x^2−z^2k $ e del campo rotF attraverso la superficie
$ S= {x^2+y^2+z^2 = a^2, z>= 0}$ orientata in modo tale che la normale nel punto di coordinate $P = (0, 0, a)$ abbia la terza componente positiva.
Calcolare il flusso del campo vettoriale $F = 3yi−2xzj+x^2−z^2k $ e del campo rotF attraverso la superficie
$ S= {x^2+y^2+z^2 = a^2, z>= 0}$ orientata in modo tale che la normale nel punto di coordinate $P = (0, 0, a)$ abbia la terza componente positiva.
Risposte
Ti ringrazio per i tuoi chiarimenti e vorrei chiederti una cosa:vorrei utilizzare il metodo basato sulla definizione di flusso;per prima cosa ho parametrizzato la superficie tramite coordinate sferiche,e ho ricavato che la superficie è ora in funzione di 3 variabili$ p, θ, ω$ ,ora come devo procedere? (quando è in funzione di due variabili,ad esempio quando utilizzo le coordinate cilindriche,procedo col calcolo delle derivate parziali della superficie rispetto a p e θ e poi, per calcolare la normale effettuo il loro prodotto vettoriale).Spero di essermi spiegata bene,grazie per il tuo aiuto! 
Sinceramente nella pratica non so districarmi bene,non riesco a capire come fare l'esercizio!
Grazie per il tuo intervento! Le definizioni da te scritte mi sono chiare,avevo ancora qualche dubbio nella pratica più che altro! Comunque ho rivisto l'esercizio e ho capito che mi conviene utilizzare il teorema della divergenza come mi hai consigliato e a tal proposito volevo chiederti se lo utilizzo correttamente:
allora ho parametrizzato la superficie con coordinate sferiche ottenendo:
$0<=p<=a$
$ 0<=θ<=π/2$
$0<=φ<=2π$
poi ho calcolato la divergenza di F : $divF^(->)(x,y,z)=-2z$
e dunque l'integrale: $ ∫_(0)^(2π) ∫_(0)^(π/2) ∫_(0)^(a)p^3cosθsinθ dpdθdφ= a^4/4*π$.
Arrivati a questo punto ho dedotto di dover sottrarre a questo flusso il flusso attaverso la circonferenza di equazione $x^2+y^2=a^2$, nel piano $z=0$. A questo punto posso utilizzare le coordinate cilindriche per parametrizzare questa circonferenza? (anche se prima ho utilizzato le coordinate sferiche?). Comunque parametrizzando tramite coordinate cilindriche ho ottenuto:
$C=(ucosv,usinv,0)$ con $0<=u<=a$
$ 0<=v<=2π$
Ho calcolato le derivate parziali di C rispetto a u e v e poi ho effettuato il prodotto vettoriale per calcolare la normale,ottenendo: $n=(0,0,u)$ (l'ho calcolata correttamente?)
Alla fine ho calcolato l'integrale: $∫_(0)^(2π) ∫_(0)^(a) (3usinv,0,u^2cos^2v) (0,0,u) dudv = $
$=∫_(0)^(2π) ∫_(0)^(a) u^3cos^2v dudv= a^4/4*π $
Alla fine ho calcolato il flusso richiesto come differenza tra i due flussi ottenuti, e ho ottenuto un flusso nullo!
e a tal proposito volevo chiederti se lo utilizzo correttamente:allora ho parametrizzato la superficie con coordinate sferiche ottenendo:
$0<=p<=a$
$ 0<=θ<=π/2$
$0<=φ<=2π$
poi ho calcolato la divergenza di F : $divF^(->)(x,y,z)=-2z$
e dunque l'integrale: $ ∫_(0)^(2π) ∫_(0)^(π/2) ∫_(0)^(a)p^3cosθsinθ dpdθdφ= a^4/4*π$.
Arrivati a questo punto ho dedotto di dover sottrarre a questo flusso il flusso attaverso la circonferenza di equazione $x^2+y^2=a^2$, nel piano $z=0$. A questo punto posso utilizzare le coordinate cilindriche per parametrizzare questa circonferenza? (anche se prima ho utilizzato le coordinate sferiche?). Comunque parametrizzando tramite coordinate cilindriche ho ottenuto:
$C=(ucosv,usinv,0)$ con $0<=u<=a$
$ 0<=v<=2π$
Ho calcolato le derivate parziali di C rispetto a u e v e poi ho effettuato il prodotto vettoriale per calcolare la normale,ottenendo: $n=(0,0,u)$ (l'ho calcolata correttamente?)
Alla fine ho calcolato l'integrale: $∫_(0)^(2π) ∫_(0)^(a) (3usinv,0,u^2cos^2v) (0,0,u) dudv = $
$=∫_(0)^(2π) ∫_(0)^(a) u^3cos^2v dudv= a^4/4*π $
Alla fine ho calcolato il flusso richiesto come differenza tra i due flussi ottenuti, e ho ottenuto un flusso nullo!
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