Esercizio flusso di campo vettoriale
Ciao a tutti,non riesco a capire come impostare questo esercizio,qualcuno potrebbe darmi una mano?
Calcolare il flusso del campo vettoriale$ F(x, y, z) = (x, x, 1) $attraverso la porzione di superficie $z = x^2−y^2$
interna al cilindro $x^2 + y^2 = 1$, orientata in modo che la normale punti verso l’alto.
Calcolare il flusso del campo vettoriale$ F(x, y, z) = (x, x, 1) $attraverso la porzione di superficie $z = x^2−y^2$
interna al cilindro $x^2 + y^2 = 1$, orientata in modo che la normale punti verso l’alto.
Risposte
Il calcolo del flusso viene effettuato attraverso l'integrale di superficie
$$\int_{\Sigma} \vec{F}\bullet\vec{n}\ d\sigma$$
e se la superficie è chiusa, nel senso che racchiude un volume, esso è equivalente, per il teorema della divergenza all'integale triplo
$$\iiint_{V}(\nabla\bullet F)\ dx\ dy\ dz$$
essendo $\Sigma=\partial V$ il bordo di $V$.
Iniziamo investigando la superficie: essa è la porzione della superficie $z=x^2-y^2$ (paraboloide iperbolico con asse coincidente con l'asse $z$) interna al cilindro di asse l'asse $z$ e raggio $1$. Il modo migliore per parametrizzare la superficie è quello di scegliere un sistema comune di coordinate per le due superfici e poi procedere a "semplificare". Usando le coordinate cilindriche
$$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=z$$
possiamo scrivere le due equazioni come
$$\rho^2\le 1,\qquad z=\rho^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=\rho^2\cos(2\theta)$$
dove la prima esplicita la condizione di essere interni al cilindro. Dal momento che entrambe le figure godono di simmetria circolare attorno all'asse $z$, possiamo assumere che $\theta\in[0,2\pi]$ e pertanto parametrizzare la superficie al modo seguente
$$\Sigma(u,v)=(u\cos v,u\sin v,u^2\cos(2v)),\qquad u\in[0,1],\ v\in[0,2\pi]$$
(uso $u=\rho,\ v=\theta$ per comodità). Dal momento che la superficie non racchiude nessun "volume", usiamo l'integrale di superficie. Osserva che, una volta stabilito il dominio $D$ in cui variano $(u,v)$, l'integrale equivale al seguente
$$\iint_{D} \vec{F}(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\bullet(\Sigma_u\wedge\Sigma_v)\ du\ dv$$
dove $\Sigma_u,\ \Sigma_v$ sono le derivate parziali della parametrizzazione, $\wedge$ indica il prodotto vettoriale e $\vec{N}=\Sigma_u\wedge\Sigma_v$ è il vettore normale alla superficie (e vogliamo che $\vec{N}\cdot \vec{k}>0$ affinché punti in alto). Abbiamo
$$\Sigma_u=(\cos v,\sin v,2u\cos(2v)),\qquad \Sigma_v=(-u\sin v,u\cos v,-2u^2\sin(2v))$$
e quindi
$$\Sigma_u\wedge\Sigma_v=(-2u^2\sin v\sin(2v)-2u^2\cos v\cos(2v),2u^2\cos v\sin(2v)-2u^2\sin v\cos(2v),u)=\\ (-2u^2,2u^2,u)$$
e quindi abbiamo l'orientamento corretto in quanto $\vec{n}\cdot\vec{k}=u>0$. Si ha quindi
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1(u\cos v,u\cos v,1)\bullet(-2u^2,2u^2,u)\ du\ dv=\int_0^{2\pi}\int_0^1 u\ du\ dv=2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi$$
(se non ho fatto errori di calcolo).
$$\int_{\Sigma} \vec{F}\bullet\vec{n}\ d\sigma$$
e se la superficie è chiusa, nel senso che racchiude un volume, esso è equivalente, per il teorema della divergenza all'integale triplo
$$\iiint_{V}(\nabla\bullet F)\ dx\ dy\ dz$$
essendo $\Sigma=\partial V$ il bordo di $V$.
Iniziamo investigando la superficie: essa è la porzione della superficie $z=x^2-y^2$ (paraboloide iperbolico con asse coincidente con l'asse $z$) interna al cilindro di asse l'asse $z$ e raggio $1$. Il modo migliore per parametrizzare la superficie è quello di scegliere un sistema comune di coordinate per le due superfici e poi procedere a "semplificare". Usando le coordinate cilindriche
$$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=z$$
possiamo scrivere le due equazioni come
$$\rho^2\le 1,\qquad z=\rho^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=\rho^2\cos(2\theta)$$
dove la prima esplicita la condizione di essere interni al cilindro. Dal momento che entrambe le figure godono di simmetria circolare attorno all'asse $z$, possiamo assumere che $\theta\in[0,2\pi]$ e pertanto parametrizzare la superficie al modo seguente
$$\Sigma(u,v)=(u\cos v,u\sin v,u^2\cos(2v)),\qquad u\in[0,1],\ v\in[0,2\pi]$$
(uso $u=\rho,\ v=\theta$ per comodità). Dal momento che la superficie non racchiude nessun "volume", usiamo l'integrale di superficie. Osserva che, una volta stabilito il dominio $D$ in cui variano $(u,v)$, l'integrale equivale al seguente
$$\iint_{D} \vec{F}(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\bullet(\Sigma_u\wedge\Sigma_v)\ du\ dv$$
dove $\Sigma_u,\ \Sigma_v$ sono le derivate parziali della parametrizzazione, $\wedge$ indica il prodotto vettoriale e $\vec{N}=\Sigma_u\wedge\Sigma_v$ è il vettore normale alla superficie (e vogliamo che $\vec{N}\cdot \vec{k}>0$ affinché punti in alto). Abbiamo
$$\Sigma_u=(\cos v,\sin v,2u\cos(2v)),\qquad \Sigma_v=(-u\sin v,u\cos v,-2u^2\sin(2v))$$
e quindi
$$\Sigma_u\wedge\Sigma_v=(-2u^2\sin v\sin(2v)-2u^2\cos v\cos(2v),2u^2\cos v\sin(2v)-2u^2\sin v\cos(2v),u)=\\ (-2u^2,2u^2,u)$$
e quindi abbiamo l'orientamento corretto in quanto $\vec{n}\cdot\vec{k}=u>0$. Si ha quindi
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1(u\cos v,u\cos v,1)\bullet(-2u^2,2u^2,u)\ du\ dv=\int_0^{2\pi}\int_0^1 u\ du\ dv=2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi$$
(se non ho fatto errori di calcolo).
Grazie mille! 
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