Esercizio flusso

[Controllore1]

Salve ragazzi! Tra poco ho un esame e non riesco a capire come svolgere questo esercizio:
"Si calcoli il flusso di V ed il flusso di rotV uscente da $ Sigma=(x^2+y^2=z^2,x>0,0 Io ho provata a ragionare in questa maniera:
Il flusso uscente dalla figura posso calcolarlo prima come se fosse chiuso, poi calcolo il flusso uscente dal piano x=0 e ce lo sottraggo. Per quanto riguarda quello di rotV uscente, parametrizzo il triangolo per x=0 e uso il teorema di Stokes.
Quindi:
1 - Calcolo del flusso uscente da V:
Uso il teorema della divergenza ---> $ divV=2+3z^2 $ quindi $ Phi(V)=1/2int_(0)^(1)( 2+3z^2)(Areaz)dz=1/2int_(0)^(1) (2+3z^2)(piz^2) dz $. Svolgendo l'integrale mi calcolo il flusso totale, a cui sottraggo quello uscente dal triangolo di base in x=0, B ---> Come si parametrizza il triangolo? Non so calcolare $ Phi (B) $!!!

2 - Calcolo del flusso uscente di $ rot(V) $ parametrizzando il bordo del triangolo in senso antiorario:
Bordo $ Gamma(1)={ ( x=0 ),( y=t ),( z=t ):} 0 Fatto questo, integro lungo t queste tre espressioni con la formula: $ int_(t1)^(t2) V(Gamma)cdotGamma'dGamma $. Le sommo ed ottengo $ Phi(rotV) $ uscente.

Qualcuno può dirmi se ho sbagliato qualcosa nel procedimento? Come tornano a voi i calcoli? Mi è stato detto che ho sbagliato l'esercizio ma non capisco come rifarlo! Grazie mille in anticipo!

[Controllore1]

Grazie per la risposta TeM, da quanto ho capito mi hai svolto l'esercizio usando il teorema di Stokes. Quindi mi hai calcolato il flusso del rotore! Ora però non capisco una cosa: la mia professoressa a lezione usava molti meno passaggi e per questo genere di problemi parametrizzava il bordo da cui esce il flusso (in questo caso solo il triangolo in x=0) e in due passaggi lo risolveva. Sul teorema di Stokes ci torno dopo aver chiarito questo punto: per quanto riguarda il teorema della divergenza, cioè per calcolare il flusso uscente da B, posso fare questo procedimento?
$ Phi(B)=Phi(Sigma)-Phi(Delta) $ con $ B $ il flusso da calcolare, $ Sigma $ il flusso totale e $ Delta $ il flusso del triangolo.
$ div(V)=2+3z^2 $, quindi $ Phi(Sigma)= int_(0)^(1)(2+z^2)(piz^2)/2dz $.
Parametrizzazione del triangolo: $ { ( x=0 ),( y=t),( z=v ):} $ con $ tin[-v,v], vin[0,1] $. $ phi(t)^^ phi(v)=( (1), (0), (0) ) $. Poiché il flusso lo voglio uscente, cambierò alla fine il valore del flusso di $ Delta $!
$ int_0^1 int_-v^v((1),(0),(0))\cdot ((3t),(3v),(v^3+2t))dtdv $. Ottengo quindi $ Phi(Delta)=-3 $ che torna $ 3 $ cambiato di segno.
Allora $ Phi(B)=pi(13/10)-(-3)=(13pi+30)/10 $ essendo $ Phi(Sigma)=pi(13/10) $. Può andar bene questa prima parte? Grazie per tutti gli aiuti che mi dai! Sono molto preziosi!

[Controllore1]

Ho capito quasi tutto, TeM! Mi sei di un aiuto incredibile! L'unica cosa che non mi è chiara è come hai fatto a calcolare il flusso uscente dal triangolo nella prima parte. Il flusso di rotore uscente dal triangolo mi torna, quello della divergenza non molto. Puoi farmelo vedere svolto? La divergenza del semicono l'ho trovata, il flusso del triangolo non ho ben chiaro come calcolarlo! Grazie ancora, dopo non ti assillo più!

[Controllore1]

Perfetto! Grazie mille di nuovo!!! Buona giornata!

[dennyroses]

"Controllore":
2 - Calcolo del flusso uscente di $ rot(V) $ parametrizzando il bordo del triangolo in senso antiorario:
Bordo $ Gamma(1)={ ( x=0 ),( y=t ),( z=t ):} 0 Fatto questo, integro lungo t queste tre espressioni con la formula: $ int_(t1)^(t2) V(Gamma)cdotGamma'dGamma $. Le sommo ed ottengo $ Phi(rotV) $ uscente.

Scusami controllore, ho due domande da farti!
1. Perchè applicando il teorema del rotore non parametrizzi anche la semi circonferenza?

2. Che regola usi per determinare il bordo? Perchè si pensa di percorrere il bordo il senso antiorario la superficie con la normale uscente rimane sulla destra!

Grazie in anticipo per il tuo aiuto!

[Controllore1]

Non parametrizzo la semicirconferenza perchè nel mio esercizio non andava parametrizzata... Ho sbagliato perchè era stato messo z=1 nell'esame... In questo caso va parametrizzata...
Per quanto riguarda il bordo, credo vada parametrizzata nel verso opposto alla superficie... Quindi se la superficie ha un verso, il bordo ha l'opposto!