Esercizio flessi
Ciao a tutti ho il seguente esercizio:
"La funzione $f(x) = ln(x) + e^x$ ammette almeno un punto di flesso in $(0,+infty)$"
Vero o Falso?
Io ho ragionato in questo modo:
ho calcolato la derivata seconda che è $f''(x)=e^x - 1/x^2$.
Ora per trovare i punti di flesso imposto $f''(x)=e^x - 1/x^2 =0$ però ho delle domande a riguardo:
1) Come faccio a risolvere l'equazione $f''(x)=e^x - 1/x^2 =0 $ ?
2) I risultati dell'equazione sono tutti i punti di flesso nei punti derivabili, come mi comporto se ci sono punti non derivabili?
3) Il fatto che un punto derivabile abbia derivata seconda uguale a 0 mi garantisce al 100% che quello è un punto di flesso oppure bisogna fare altri controlli, come ad esempio per i massimi e minimi in cui bisognava controllare che la funzione cresceva o decresceva ai "lati" del punto?
Vi ringrazio molto per l'attenzione e disponibilità
"La funzione $f(x) = ln(x) + e^x$ ammette almeno un punto di flesso in $(0,+infty)$"
Vero o Falso?
Io ho ragionato in questo modo:
ho calcolato la derivata seconda che è $f''(x)=e^x - 1/x^2$.
Ora per trovare i punti di flesso imposto $f''(x)=e^x - 1/x^2 =0$ però ho delle domande a riguardo:
1) Come faccio a risolvere l'equazione $f''(x)=e^x - 1/x^2 =0 $ ?
2) I risultati dell'equazione sono tutti i punti di flesso nei punti derivabili, come mi comporto se ci sono punti non derivabili?
3) Il fatto che un punto derivabile abbia derivata seconda uguale a 0 mi garantisce al 100% che quello è un punto di flesso oppure bisogna fare altri controlli, come ad esempio per i massimi e minimi in cui bisognava controllare che la funzione cresceva o decresceva ai "lati" del punto?
Vi ringrazio molto per l'attenzione e disponibilità
Risposte
Ciao
mi piace molto il tuo esercizio. In pratica si dice: sommiamo due funzioni, entrambe sempre crescenti, una con la concavità rivolta sempre verso il basso (il logaritmo) e l'altra sempre verso l'alto (l'esponenziale), troveremo un flesso?
Se disegniamo, anche molto alla buona, le due funzioni e le sommiamo ci sembra già di vederlo il punto in cui cambia la concavità. Ora però ragioniamo bene: per quanto riguarda lo stracchino (crescenza) possiamo certamente affermare che la nostra funzione è sempre crescente, anche la derivata prima è sempre positiva nell'intervallo $(0;+oo)$ dove è definita la nostra funzione. Passiamo alla derivata seconda $f(x)=e^x-1/(x^2)$, per avere un flesso dobbiamo avere un intervallo dove la derivata seconda è negativa (positiva), poi un punto dove si annulla, seguito da un intervallo dove è positiva (negativa). Studiamo quindi la disequazione $e^x-1/(x^2)>=0$, per farlo vorrei usare il metodo grafico, cioè confrontare il grafico di $e^x$ e il grafico di $1/(x^2)$, lo conosci?
mi piace molto il tuo esercizio. In pratica si dice: sommiamo due funzioni, entrambe sempre crescenti, una con la concavità rivolta sempre verso il basso (il logaritmo) e l'altra sempre verso l'alto (l'esponenziale), troveremo un flesso?
Se disegniamo, anche molto alla buona, le due funzioni e le sommiamo ci sembra già di vederlo il punto in cui cambia la concavità. Ora però ragioniamo bene: per quanto riguarda lo stracchino (crescenza) possiamo certamente affermare che la nostra funzione è sempre crescente, anche la derivata prima è sempre positiva nell'intervallo $(0;+oo)$ dove è definita la nostra funzione. Passiamo alla derivata seconda $f(x)=e^x-1/(x^2)$, per avere un flesso dobbiamo avere un intervallo dove la derivata seconda è negativa (positiva), poi un punto dove si annulla, seguito da un intervallo dove è positiva (negativa). Studiamo quindi la disequazione $e^x-1/(x^2)>=0$, per farlo vorrei usare il metodo grafico, cioè confrontare il grafico di $e^x$ e il grafico di $1/(x^2)$, lo conosci?
Ciao, no non lo conosco se saresti così gentile da illustrarmelo te ne sarei grado
Allora... l'equazione è
$e^x-1/(x^2)=0$
perchè il risultato sia 0 deve essere
$e^x=1/(x^2)$
allora disegniamo il grafico di $e^x$ e il grafico di $1/x^2$ (solo per x compreso tra 0 e $+oo$, ricordiamoci da dove siamo partiti), nel punto (o nei punti) in cui si incontrano i due grafici la nostra derivata seconda si annulla, là dove $e^x$ sta sopra a $1/(x^2)$ la derivata seconda è positiva e la concavità è rivolta verso l'alto, là dove $e^x$ sta sotto a $1/x^2$ la derivata seconda è negativa e la concavità è rivolta verso il basso.
$e^x-1/(x^2)=0$
perchè il risultato sia 0 deve essere
$e^x=1/(x^2)$
allora disegniamo il grafico di $e^x$ e il grafico di $1/x^2$ (solo per x compreso tra 0 e $+oo$, ricordiamoci da dove siamo partiti), nel punto (o nei punti) in cui si incontrano i due grafici la nostra derivata seconda si annulla, là dove $e^x$ sta sopra a $1/(x^2)$ la derivata seconda è positiva e la concavità è rivolta verso l'alto, là dove $e^x$ sta sotto a $1/x^2$ la derivata seconda è negativa e la concavità è rivolta verso il basso.
Scusami non mi è molto chiaro il perché di questo:
"gio73":
là dove $e^x$ sta sopra a $1/(x^2)$ la derivata seconda è positiva e la concavità è rivolta verso l'alto, là dove $e^x$ sta sotto a $1/x^2$ la derivata seconda è negativa e la concavità è rivolta verso il basso.
Per sapere come è disposta la concavità devo studiare questa disequazione
$e^x-1/(x^2)>=0$
allora se $e^x$ è maggiore di $1/(x^2)$ allora è positiva (concavità verso l'alto)
se $e^x$ è minore di $1/(x^2)$ allora è negativa (concavità verso il basso)
consideriamo $f(x)=e^x$ e $g(x)=1/(x^2)$, prendiamo un punto $x_0$ che appartiene all'intevallo che ci interessa $(0;+oo)$, controlliamo sul piano cartesiano dove abbiamo disegnato $f(x)$ e $g(x)$, vediamo i valori $f(x_0)$ e $g(x_0)$, se $f(x_0)>g(x_0)$ allora $f(x_0)$il starà "sopra" $g(x_0)$, isn't it?
$e^x-1/(x^2)>=0$
allora se $e^x$ è maggiore di $1/(x^2)$ allora è positiva (concavità verso l'alto)
se $e^x$ è minore di $1/(x^2)$ allora è negativa (concavità verso il basso)
consideriamo $f(x)=e^x$ e $g(x)=1/(x^2)$, prendiamo un punto $x_0$ che appartiene all'intevallo che ci interessa $(0;+oo)$, controlliamo sul piano cartesiano dove abbiamo disegnato $f(x)$ e $g(x)$, vediamo i valori $f(x_0)$ e $g(x_0)$, se $f(x_0)>g(x_0)$ allora $f(x_0)$il starà "sopra" $g(x_0)$, isn't it?
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