Esercizio - $f$ continua, successioni

[Seneca1]

Esercizio: Sia $f : [0, +oo [ -> RR$ una funzione continua e si supponga che $lim_n (-1)^n f(n) = - 3$.

Provare che risulta $]-3 , 3 [ subset f([0,+oo[ )$.

Idea:

Poiché la successione $y_n = (-1)^n f(n)$ ha limite $-3$, anche le sottosuccessioni $y_(2n)$ e $y_(2n + 1)$ hanno limite $-3$. Dunque:

$lim_n (-1)^(2n) f(2n) = lim_n f(2n) = - 3$

$lim_n (-1)^(2n + 1) f(2n + 1) = lim_n - f(2n + 1) = - 3$ , cioè $lim_n f(2n + 1) = 3$

Comunque fissato un intorno (destro) $V$ di $-3$, esistono degli $x in [ 0, +oo[$ tali che $f(x) in V$. Analogamente, per ogni intorno $U$ di $3$, esistono $x in [0, +oo[$ tali che $f(x) in U$. Ma la $f$ è continua, quindi vale il teorema di connessione ($f([0 , +oo [)$ è un intervallo). Donde la tesi.

E' giusto?

[Rigel1]

Direi di sì.
In altre parole, per ogni $n\in\mathbb{N}$ puoi trovare punti $x_n, y_n > 0$ t.c $f(x_n) > 3 - 1/n$ e $f(y_n) < -3 + 1/n$.
Il teorema di connessione da te citato ti garantisce dunque che $[-3+1/n, 3-1/n] \subset f([0, +\infty) )$ per ogni $n\in\mathbb{N}$, da cui puoi concludere che $(-3, 3) = \cup_n [-3+1/n, 3-1/n] \subset f([0, +\infty) )$.

[Seneca1]

Ho sempre avuto dubbi su come scrivere formalmente questo fatto. Ti ringrazio..