Esercizio estremo sup,inf...

[Ragazzo1231]

salve non ho capito bene questo esercizio:
$E={x in RR : x=3^n-1/n^2, n in NN}$

io ho provato a risolverlo così:
$n$ fa parte dei numeri naturali allora l'estremo inferiore è per forza 2 perché:
$3^n-1/n^2=3^1-1/1^2=2$ ed è anche il minimo...
ma per l'estremo superiore come faccio?
in realtà non sono nemmeno sicuro se ho fatto giusto i passaggi sopra...

[Camillo]

Al tendere di $ n rarr +oo $ si ha che $3^n rarr +oo $ mentre $1/n^2 rarr 0 $ quindi il sup è....

[Ragazzo1231]

il sup è quindi $∞$? ma non è il massimo , giusto?
i passaggi che ho fatto prima io sono giusti?

[anto_zoolander]

Non potrebbe mai essere il massimo...
se fosse il massimo esisterebbe $n inNN: a_n=+infty$ il che mi sembrerebbe abbastanza strano.

Per il resto tu hai mostrato che $2 in {a_n|n inNN:n>0}$, devi mostrare che è un minorante.

[Ragazzo1231]

2 è un minorante perché sta all'interno dell'insieme, giusto?

[anto_zoolander]

None... ricordi qual è la definizione di minorante? E di minimo?

[Ragazzo1231]

il minimo è l'estremo inferiore che appartiene all'insieme, il minorante è il numero più piccolo che può raggiungere l'insieme...?

[kobeilprofeta]

MinoranTe è un numero <= ad ogni elemento dell'insieme

[anto_zoolander]

Hai forse le idee un po’ confuse.

Per il minimo, vale quello che ha scritto kobe.

l’estremo inferiore è qualcosa di un po’ più profondo del massimo o del minimo, perché sono due quantità che esistono sicuramente, ed è una cosa che dipende essenzialmente dall’insieme.

La definizione di estremo inferiore può essere formulata a partire da maggioranti e minoranti di un insieme.
Considera un sottoinsieme $A$ dei numeri reali, che sia limitato inferiormente.
Ovvero $A$ ammette almeno un minorante. Considera $m(A)={x inRR:xleqa, foralla inA}$ l’insieme dei minoranti di $A$ e si nota che tale insieme è non vuoto poiché $A$ è limitato inferiormente.

Ora definiamo $i n f A:=max m(A)$

Tale definizione è buona? Per prima cosa se il massimo esiste, allora è unico.

Di fatto se esistessero $m,m’$ tale entrambi siano il massimo di un insieme $B$ allora si avrebbe $mgeqx, forall x in$ e $m’ inB$ dunque $mgeqm’$ e allo stesso modo si mostra che $m’geqm$ e quindi $m=m’$

Quindi in primis, se l’estremo superiore esiste allora è unico, per definizione.

Ma per un sottoinsieme inferiormente limitato di $RR$, esiste sempre l’estremo inferiore?
Si, per la completezza!

Infatti per definizione stessa di minorante si ha $m(A)leqA$ (si intende che ogni elemento di $m(A)$ è minore o uguale a ogni elemento di $A$).
Per l’assioma di completezza per tanto $existsc inRR: m(A)leqcleqA$

Ma allora $c$ è un minorante di $A$ e quindi appartiene a $m(A)$ e inoltre è maggiore od uguale a qualsiasi altro elemento di $m(A)$ pertanto $c=max m(A) => c= i n fA$

Tale elemento è unico? Se esistesse $c’ inRR: m(A)leqc’leqA$ con $c’ ne c$ si avrebbe allo stesso modo che $c’=max m(A)$ ma per l’unicita del massimo sarebbe $c=c’$, quindi deve essere unico.

allo stesso modo si mostra per l’estremo superiore di un insieme superiormente limitato.
Quindi ogni sottoinsieme di $RR$ che sia limitato ammette sempre estremo superiore e inferiore.

Arrivando al dunque: come fai a mostrare che un elemento è l’estremo inferiore di un sottoinsieme di $RR$?
per definizione $i n f A=max m(A)$

Tradotto a parole:
Un elemento $m inRR$ è l’estremo inferiore di $A$ se è un minorante e $forallz inRR:z>m=>existsa inA:z>a$
Equivalente si mostra che $m$ è l’estemo Inferiore di $A$ se:

• $mleqa,forall a inA$
• $forall epsilon>0 existsa inA: a

Penso di averti detto tutto, spero di essere stato utile.
(Ho colto l’occasione per ripassare ad alta voce)