Esercizio estremo sup,inf...

Ragazzo1231
salve non ho capito bene questo esercizio:
$E={x in RR : x=3^n-1/n^2, n in NN}$

io ho provato a risolverlo così:
$n$ fa parte dei numeri naturali allora l'estremo inferiore è per forza 2 perché:
$3^n-1/n^2=3^1-1/1^2=2$ ed è anche il minimo...
ma per l'estremo superiore come faccio?
in realtà non sono nemmeno sicuro se ho fatto giusto i passaggi sopra...

Risposte
Camillo
Al tendere di $ n rarr +oo $ si ha che $3^n rarr +oo $ mentre $1/n^2 rarr 0 $ quindi il sup è....

Ragazzo1231
il sup è quindi $∞$? ma non è il massimo , giusto?
i passaggi che ho fatto prima io sono giusti?

anto_zoolander
Non potrebbe mai essere il massimo...
se fosse il massimo esisterebbe $n inNN: a_n=+infty$ il che mi sembrerebbe abbastanza strano.

Per il resto tu hai mostrato che $2 in {a_n|n inNN:n>0}$, devi mostrare che è un minorante.

Ragazzo1231
2 è un minorante perché sta all'interno dell'insieme, giusto?

anto_zoolander
None... ricordi qual è la definizione di minorante? E di minimo?

Ragazzo1231
il minimo è l'estremo inferiore che appartiene all'insieme, il minorante è il numero più piccolo che può raggiungere l'insieme...?

kobeilprofeta
MinoranTe è un numero <= ad ogni elemento dell'insieme

anto_zoolander
Hai forse le idee un po’ confuse.

Per il minimo, vale quello che ha scritto kobe.



Arrivando al dunque: come fai a mostrare che un elemento è l’estremo inferiore di un sottoinsieme di $RR$?
per definizione $i n f A=max m(A)$

Tradotto a parole:
Un elemento $m inRR$ è l’estremo inferiore di $A$ se è un minorante e $forallz inRR:z>m=>existsa inA:z>a$
Equivalente si mostra che $m$ è l’estemo Inferiore di $A$ se:

• $mleqa,forall a inA$
• $forall epsilon>0 existsa inA: a

Penso di averti detto tutto, spero di essere stato utile.
(Ho colto l’occasione per ripassare ad alta voce)

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