Esercizio Estremo Superiore
Ciao a tutti! Ho appena finito ingegneria e sto tentando di farmi delle solide fondamenta di analisi "da matematica", principalmente per passione. Ho deciso di comiciare dall'analisi 1, ma diciamo che già qui trovo le mie difficoltà, soprattutto perché non ho nessuno a cui chiedere se gli esercizi sono giusti o sbagliati. Volevo quindi proporre qui uno dei tanti dubbi che ho e sperare in un aiuto 
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L'esercizio è mostrare che $A=\{x\in\mathbb{R}: x>0, x^2<2\}$ ha un estremo superiore $\xi$ ed è $\xi^2=2$. Indico con $A^\star$ l'insieme dei maggioranti di $A$. Lo ho svolto come segue. Si ha $A\ne \emptyset$ e $A^\star=\{x\in\mathbb{R}: x^2\ge 2 \}\ne\emptyset$ dunque $A$ è superiormente limitato in $\mathbb{R}$ e ammette quindi estremo superiore $\xi := \text{sup}A = \min A^\star\in A^\star$. Segue dalla definizione di minimo che $\xi^2\ge 2$, $\xi>0$. Se fosse $\xi^2>2$ esisterebbe $\eta\in\A^\star$ con $\eta^2 = (\xi^2+2)/2$ tale che $\eta<\xi$ contro il fatto che $\xi=\min A^\star$. Deve essere quindi $\xi^2 = 2$.
Ho cominciato a dubitare di questa dimostrazione quando ho provato a mostrare che $A=\{x\in\mathbb{Q}: x>0, x^2<2\}$ ha un estremo superiore $\xi$ ed è $\xi^2=2$. Infatti io la applicherei tale e quale visto che il $\text{sup}A$ è in $\mathbb{R}$, e non in $A$. Immagino sia sbagliata la dimostrazione che ho fatto e volevo capire dove sta l'inghippo. Chiedo scusa se ho scritto fesserie molto grosse, ma abbiate pazienza .
Vi ringrazio in anticipo!
Ciao!
. L'esercizio è mostrare che $A=\{x\in\mathbb{R}: x>0, x^2<2\}$ ha un estremo superiore $\xi$ ed è $\xi^2=2$. Indico con $A^\star$ l'insieme dei maggioranti di $A$. Lo ho svolto come segue. Si ha $A\ne \emptyset$ e $A^\star=\{x\in\mathbb{R}: x^2\ge 2 \}\ne\emptyset$ dunque $A$ è superiormente limitato in $\mathbb{R}$ e ammette quindi estremo superiore $\xi := \text{sup}A = \min A^\star\in A^\star$. Segue dalla definizione di minimo che $\xi^2\ge 2$, $\xi>0$. Se fosse $\xi^2>2$ esisterebbe $\eta\in\A^\star$ con $\eta^2 = (\xi^2+2)/2$ tale che $\eta<\xi$ contro il fatto che $\xi=\min A^\star$. Deve essere quindi $\xi^2 = 2$.
Ho cominciato a dubitare di questa dimostrazione quando ho provato a mostrare che $A=\{x\in\mathbb{Q}: x>0, x^2<2\}$ ha un estremo superiore $\xi$ ed è $\xi^2=2$. Infatti io la applicherei tale e quale visto che il $\text{sup}A$ è in $\mathbb{R}$, e non in $A$. Immagino sia sbagliata la dimostrazione che ho fatto e volevo capire dove sta l'inghippo. Chiedo scusa se ho scritto fesserie molto grosse, ma abbiate pazienza
.Vi ringrazio in anticipo!
Ciao!
Risposte
"dan93":
Se fosse $\xi^2>2$ esisterebbe $\eta\in\A^\star$ con $\eta^2 = (\xi^2+2)/2$ tale che $\eta<\xi$ contro il fatto che $\xi=\min A^\star$. Deve essere quindi $\xi^2 = 2$.
L'errore è qui: è vero piuttosto che esiste $\eta$ tale che $\eta^2 = (\xi^2-2)/2$, e adesso hai finito. Che questa dimostrazione non vada bene per $\mathbb Q$ va dimostrato facendo vedere che poi $\xi$ non può essere razionale, almeno credo.
Grazie mille killing_buddha per la risposta, sei stato molto gentile. Credo che il mio $\eta^2$ sia giusto poiché non è altro che il punto medio dell'intervallo $[2,\xi^2]$. Quindi tu dici che per il secondo esercizio va bene la dimostrazione ma bisogna appunto dimostrare che $\xi$ non può essere razionale. Pensavo anche io così però poi mi è venuto il dubbio che ci fossero altri modi più intelligenti e corretti di farlo e che il mio fosse una maniera stupida visto che sono autodidatta diciamo 
Grazie mille ancora!! Sarò di sicuro costretto a postare altri esercizi Ciao!!
Grazie mille ancora!! Sarò di sicuro costretto a postare altri esercizi
Ciao!!
"dan93":
Credo che il mio $\eta^2$ sia giusto
Tu hai messo un + in \(\frac{b+a}{2}\), ma il punto medio di un segmento è la semidifferenza \(\frac{b-a}{2}\) delle coordinate degli estremi.
Ma se per dire prendiamo l’intervallo $[1,5]$, a metá c’è 3, non 2. Quella che dici tu mi pare sia la semilunghezza dell’intervallo, non il punto medio. Perdonami se ri-sbaglio su una cavolata del genere ma sono duro di comprendonio si vede
Ah. Hai ragione: se non sbaglio una cosa al giorno (possibilmente una cazzata) non sono contento 
il ragionamento funziona anche col +, $\eta$ farebbe violare la proprietà dell'inf e andremmo tutti a casa
il ragionamento funziona anche col +, $\eta$ farebbe violare la proprietà dell'inf e andremmo tutti a casa
Ottimo! Io son abituato a sbagliare, altro che una volta al giorno Basta che siamo d’accordo! Ottimo!
Basta che siamo d’accordo! Ottimo!
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