Esercizio estremi di una successione
Salve a tutti,
Sono nuovo del forum e a breve ho l'l'esame di analisi 1.
Studio ingegneria civile ed ambientale ma ho ancora qualche dubbio sulla materia,per questo chiedo il vostro aiuto.
Dunque devo trovare estremo superiore eventualmente massimo e minimo della seguente successione:
((e^(-n)) -1) / ((e^(-n)) + 1)
Scrivo le considerazioni che ho fatto:
il numeratore parte da 0 quando n = 1, e tende a -1 quando n tende a infinito.
il denominatore parte da 1 quando n=1 e tende a 2 quando n tende a infinito.
E adesso?? Ho il rapporto tra due successioni limitate e di monotonia opposta.
A prescindere dall'esercizio, quello che vorrei sapere è se il metodo di approccio qualitativo alla successione è corretto o si procede in maniera diversa.
Grazie a tutti dell'aiuto. Purtroppo ho provato a cercare esercizi svolti ma pochi si avvicinano a quello che cerco.
Sono nuovo del forum e a breve ho l'l'esame di analisi 1.
Studio ingegneria civile ed ambientale ma ho ancora qualche dubbio sulla materia,per questo chiedo il vostro aiuto.
Dunque devo trovare estremo superiore eventualmente massimo e minimo della seguente successione:
((e^(-n)) -1) / ((e^(-n)) + 1)
Scrivo le considerazioni che ho fatto:
il numeratore parte da 0 quando n = 1, e tende a -1 quando n tende a infinito.
il denominatore parte da 1 quando n=1 e tende a 2 quando n tende a infinito.
E adesso?? Ho il rapporto tra due successioni limitate e di monotonia opposta.
A prescindere dall'esercizio, quello che vorrei sapere è se il metodo di approccio qualitativo alla successione è corretto o si procede in maniera diversa.
Grazie a tutti dell'aiuto. Purtroppo ho provato a cercare esercizi svolti ma pochi si avvicinano a quello che cerco.
Risposte
se la successione la riscrivi cosi,
\[a_n:=\frac{e^{-n}-1}{e^{-n}+1}=\frac{2}{e^{ n}+1}-1\]
verifichi immediatamente che è decrescente per ogni $n\in\NN...$
\[a_n:=\frac{e^{-n}-1}{e^{-n}+1}=\frac{2}{e^{ n}+1}-1\]
verifichi immediatamente che è decrescente per ogni $n\in\NN...$
mmm giustissimo complimenti.
Ho provato nel frattempo a sostituire x ad n, calcolare derivata e studiarne il segno.
Mi è venuta negativa per tutto l'intervallo di definizione quindi sempre decrescente.
Per cui il SUP o anche il massimo si ha per n=1 e ha un certo valore che si ottiene sostituendo mentre ha INF = - infinito ma non ammette minimo.
Va anche bene così? è giusto come ragionamento?
Ho provato nel frattempo a sostituire x ad n, calcolare derivata e studiarne il segno.
Mi è venuta negativa per tutto l'intervallo di definizione quindi sempre decrescente.
Per cui il SUP o anche il massimo si ha per n=1 e ha un certo valore che si ottiene sostituendo mentre ha INF = - infinito ma non ammette minimo.
Va anche bene così? è giusto come ragionamento?
Ciao, si la successione è decrescente come ha fatto ben notare Noisemaker... Essendo definita in tuto N per trovare il sup basta secondo me sostituire il valore 1 nella successione e trovi (1-e)/(1+e) che dovrebbe essere anche il massimo...
Per quanto riguarda l'inf perchè dici che è meno infinito?... Secondo me bisogna fare il limite per n -> +infinito e calcolandolo mi viene -1, quindi direi che l'inf è -1...
Per quanto riguarda l'inf perchè dici che è meno infinito?... Secondo me bisogna fare il limite per n -> +infinito e calcolandolo mi viene -1, quindi direi che l'inf è -1...
"epsilon":
Va anche bene così? è giusto come ragionamento?
Non lo vedo sbagliato come ragionamento (se dovessi dire cavolate, ci penserà Noisemaker a fare rumore
).Comunque, a parte questo ragionamento, dopo aver sistemato la successione così, consiglio a Noisemaker di ricontrollare o di insultarmi - in senso buono, ovvio
- se sbaglio io$\frac{e^(-n)-1}{e^(-n)+1}= \frac{e^(-n)-1+2-2}{e^(-n)+1}= \frac{e^(-n)+1}{e^(-n)+1}-\frac{2}{e^(-n)+1}=1- \frac{2}{e^(-n)+1}$
che comunque è lo stesso decrescente perché $e^(-n)$ diventa sempre più piccolo quindi al crescere di $n$ si sottrae una quantità sempre maggiore a $1$ (quindi viene una quantità sempre minore nel complesso).
Facendo l'anteprima, ho visto la risposta di inv3rse, alla quale mi accodo.
Ciao Zero87 quindi in definitiva si ha:
INF = -1
Min = non c'è
SUP = (1-e)/(1+e)
Max = (1-e)/(1+e)
Giusto?
INF = -1
Min = non c'è
SUP = (1-e)/(1+e)
Max = (1-e)/(1+e)
Giusto?
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