Esercizio esistenza di un limite in base alla derivabilità
Salve ragazzi, sono nuovo del forum, volevo innanzitutto dare un saluto a tutti quanti sperando in una reciproca collaborazione! (spero di potervi essere d'aiuto 
). Ho letto il regolamento del forum, e già sapete che c'è scritto, ma vorrei farvi una domanda (spero di non rischiare l'amputazione delle mani 
) riguardo a un esame parziale di analisi 1 svolto qualche giorno fa... Mi spiego meglio, non chiedo a nessuno di risolvere i miei esercizi, ma posto qui il problema e la soluzione da me adoperata, che a quanto pare è risultata un grandissimo 0 su 8 punti! non riesco a capire cosa abbia sbagliato, e ringrazio chiunque mi aiuti a capire (credo siano cose fondamentali...).
Il testo era questo:
Sia $ f $ una funzione derivabile in 0. Partendo da questo presupposto, esiste il limite $ lim_(x -> 0) (f(2x)-f(-x))/x $ ?
Viceversa, supponendo che il limite esista, posso dire che $ f $ è derivabile in 0?
L'ho risolto in questo modo:
$ f $ derivabile in 0 $ rArr $ $ f $ continua in 0 $ rArr $ $ lim_(x -> 0) f(x)=f(0) $
$ f(x) $ derivabile in 0 $ rArr $ per definizione è l'esistenza di $ lim_(h -> 0) (f(x0+h)-f(x0)) /h $ cioè in questo caso $ lim_(h -> 0) (f(h)-f(0)) /h $
Ma se esiste $ lim_(h -> 0) (f(h)-f(0)) /h $ $ rArr $ esiste anche $ lim_(x -> 0) (f(x)-f(0)) /x $ (ho semplicemente sostituito $ h $ con $ x $)
Ora torno alla mia ipotesi sulla continuità: poiché $ f $ è continua in 0, per $ xrarr 0 $ avrò che $f(x)$ assume esattamente il valore $f(0)$, e dunque $f(x)=f(0)=f(2*0)=f(2*x)=f(0)=f(-x)$
A questo punto, mi basta sostituire nel limite $ lim_(x -> 0) (f(x)-f(0)) /x $ il termine $f(x)$ con $f(2x)$ e il termine $f(0)$ con $f(-x)$ dal momento che sono proprio lo stesso identico valore (per la continuità) e il gioco è fatto.
Il viceversa ho ipotizzato non fosse vero, poiché mi mancava l'ipotesi principale sulla continuità, ma non so se sia corretto.
Chiunque mi aiuti a capire l'errore gliene sarò grato! Può essere una sciocchezza come essere una cosa mostruosa, mi basta saperlo per capire da dove ripartire a studiare! Grazie a tutti quelli che mi risponderanno
). Ho letto il regolamento del forum, e già sapete che c'è scritto, ma vorrei farvi una domanda (spero di non rischiare l'amputazione delle mani ) riguardo a un esame parziale di analisi 1 svolto qualche giorno fa... Mi spiego meglio, non chiedo a nessuno di risolvere i miei esercizi, ma posto qui il problema e la soluzione da me adoperata, che a quanto pare è risultata un grandissimo 0 su 8 punti! non riesco a capire cosa abbia sbagliato, e ringrazio chiunque mi aiuti a capire (credo siano cose fondamentali...).Il testo era questo:
Sia $ f $ una funzione derivabile in 0. Partendo da questo presupposto, esiste il limite $ lim_(x -> 0) (f(2x)-f(-x))/x $ ?
Viceversa, supponendo che il limite esista, posso dire che $ f $ è derivabile in 0?
L'ho risolto in questo modo:
$ f $ derivabile in 0 $ rArr $ $ f $ continua in 0 $ rArr $ $ lim_(x -> 0) f(x)=f(0) $
$ f(x) $ derivabile in 0 $ rArr $ per definizione è l'esistenza di $ lim_(h -> 0) (f(x0+h)-f(x0)) /h $ cioè in questo caso $ lim_(h -> 0) (f(h)-f(0)) /h $
Ma se esiste $ lim_(h -> 0) (f(h)-f(0)) /h $ $ rArr $ esiste anche $ lim_(x -> 0) (f(x)-f(0)) /x $ (ho semplicemente sostituito $ h $ con $ x $)
Ora torno alla mia ipotesi sulla continuità: poiché $ f $ è continua in 0, per $ xrarr 0 $ avrò che $f(x)$ assume esattamente il valore $f(0)$, e dunque $f(x)=f(0)=f(2*0)=f(2*x)=f(0)=f(-x)$
A questo punto, mi basta sostituire nel limite $ lim_(x -> 0) (f(x)-f(0)) /x $ il termine $f(x)$ con $f(2x)$ e il termine $f(0)$ con $f(-x)$ dal momento che sono proprio lo stesso identico valore (per la continuità) e il gioco è fatto.
Il viceversa ho ipotizzato non fosse vero, poiché mi mancava l'ipotesi principale sulla continuità, ma non so se sia corretto.
Chiunque mi aiuti a capire l'errore gliene sarò grato! Può essere una sciocchezza come essere una cosa mostruosa, mi basta saperlo per capire da dove ripartire a studiare! Grazie a tutti quelli che mi risponderanno
Risposte
Le sostituzioni che fai secondo me non sono lecite infatti secondo il tuo ragionamento nel limite $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{x}$ metteresti $\sin x$ al posto di $\sin 3x$ perchè la funzione $\sin x$ è continua in 0...ma ti accorgi che il limite è completamente diverso...
Secondo me potresti procedere nel seguente modo:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(2x)-f(-x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(2x)-f(0)+f(0)-f(-x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{f(2x)-f(0)}{x}-\frac{f(-x)-f(0)}{x})=$
$=\lim_{x\rightarrow 0}(2\frac{f(2x)-f(0)}{2x}+\frac{f(-x)-f(0)}{-x})=2f'(0)+f'(0)=3f'(0)$.
dal terzultimo al penultimo passaggio ho sfruttato l'ipotesi di derivabilità..
Secondo me potresti procedere nel seguente modo:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(2x)-f(-x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(2x)-f(0)+f(0)-f(-x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{f(2x)-f(0)}{x}-\frac{f(-x)-f(0)}{x})=$
$=\lim_{x\rightarrow 0}(2\frac{f(2x)-f(0)}{2x}+\frac{f(-x)-f(0)}{-x})=2f'(0)+f'(0)=3f'(0)$.
dal terzultimo al penultimo passaggio ho sfruttato l'ipotesi di derivabilità..
In effetti il tuo ragionamento ha più senso del mio, e fa uso di cose sicuramente più "lecite" oltre a essere corretto... probabilmente ho sbagliato questo, grazie mille! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo