Esercizio errato, integrale improprio prima specie
Ho il seguente integrale:
$\int_1^(+∞) (2+sinx)arctan(1/x)dx$ mi sono accordo che essendo $(2+sinx)$ limitata e $arctan(1/x)->0$ nel suo limite a infinito.
ALlora per il teorema di funzione limitata*infinitesima=0 posso asserire che (2+sinx)arctan(1/x) è asintoticament eequivalente a 0
E quindi integrale di 0 è zero!
Il problema che ho visto e capito lo svolgimento del professore di esercizi e in effetti sarebbe divergente.
Vorrei capire dove è l'errore invece nel procedimento che ho riportato io, perché mi pare coerente ma ovviamente non lo è.
Sapreste gentilmente aiutarmi?
$\int_1^(+∞) (2+sinx)arctan(1/x)dx$ mi sono accordo che essendo $(2+sinx)$ limitata e $arctan(1/x)->0$ nel suo limite a infinito.
ALlora per il teorema di funzione limitata*infinitesima=0 posso asserire che (2+sinx)arctan(1/x) è asintoticament eequivalente a 0
E quindi integrale di 0 è zero!
Il problema che ho visto e capito lo svolgimento del professore di esercizi e in effetti sarebbe divergente.
Vorrei capire dove è l'errore invece nel procedimento che ho riportato io, perché mi pare coerente ma ovviamente non lo è.
Sapreste gentilmente aiutarmi?
Risposte
Ciao jarjar2,
Ma anche no...
Farei così:
$ \int_{1}^{+\infty} (2+sinx)arctan(1/x) dx \ge \int_{1}^{+\infty} arctan(1/x) dx $ [tex]\sim[/tex] $ \int_{1}^{+\infty} 1/x dx $
L'ultimo integrale scritto è divergente, pertanto lo è anche l'integrale proposto.
"jarjar2":
ALlora per il teorema di funzione limitata*infinitesima=0 posso asserire che (2+sinx)arctan(1/x) è asintoticamente equivalente a 0
Ma anche no...
Farei così:
$ \int_{1}^{+\infty} (2+sinx)arctan(1/x) dx \ge \int_{1}^{+\infty} arctan(1/x) dx $ [tex]\sim[/tex] $ \int_{1}^{+\infty} 1/x dx $
L'ultimo integrale scritto è divergente, pertanto lo è anche l'integrale proposto.
Ciao e innanzitutto grazie 
Esattissimo, quella è la soluzione portata dal prof infatti.
Però sapresti correggermi dove sbaglio nel mio ragionamento? Credo mi sarebbe davvero utile capirlo per nonfare più questo errore. Ma proprio da solo non lo vedo
Esattissimo, quella è la soluzione portata dal prof infatti.
Però sapresti correggermi dove sbaglio nel mio ragionamento? Credo mi sarebbe davvero utile capirlo per nonfare più questo errore. Ma proprio da solo non lo vedo
Ho visto ora la modifica al messaggio
Quindi è quella la parte incriminata, tuttavia non capisco perché sia sbagliato. A tutti gli effetti si tratta di una limitata per una infinitesima e quindi il limite sarebbe zero. Detto questo essendo il limite zero vuol dire che asintoticamente si comporta come la funzione costante 0, quindi potrei sostituirla nel "Limite a infinito" ho pensato.
Non capisco l'errore logico, ma vorrei tanto individuarlo per non ripeterlo.
Quindi è quella la parte incriminata, tuttavia non capisco perché sia sbagliato. A tutti gli effetti si tratta di una limitata per una infinitesima e quindi il limite sarebbe zero. Detto questo essendo il limite zero vuol dire che asintoticamente si comporta come la funzione costante 0, quindi potrei sostituirla nel "Limite a infinito" ho pensato.
Non capisco l'errore logico, ma vorrei tanto individuarlo per non ripeterlo.
Non devi fare il limite per $x \to +\infty $ di $arctan(1/x) $ e siccome fa $0 $ concludere che fa $0$ anche l'integrale. Devi invece vedere come si comporta la funzione $arctan(1/x) $ per $x \to +\infty $, cioè tener presente che si ha:
$ \lim_{x \to +infty} \frac{arctan(1/x)}{1/x} = 1 \implies arctan(1/x) $ [tex]\sim[/tex] $ 1/x $
Forse lo vedi meglio se poni $t := 1/x $, in modo che il limite diventa il seguente:
$ \lim_{t \to 0^+} \frac{arctan(t)}{t} = 1 $
Se ancora non lo vedi, poni $u := arctan t \implies t = tan u $, per cui si ha:
$ \lim_{t \to 0^+} \frac{arctan(t)}{t} = lim_{u \to 0^+} \frac{u}{tan u} = lim_{u \to 0^+} \frac{u}{sin u} \cdot cos u = 1 $
$ \lim_{x \to +infty} \frac{arctan(1/x)}{1/x} = 1 \implies arctan(1/x) $ [tex]\sim[/tex] $ 1/x $
Forse lo vedi meglio se poni $t := 1/x $, in modo che il limite diventa il seguente:
$ \lim_{t \to 0^+} \frac{arctan(t)}{t} = 1 $
Se ancora non lo vedi, poni $u := arctan t \implies t = tan u $, per cui si ha:
$ \lim_{t \to 0^+} \frac{arctan(t)}{t} = lim_{u \to 0^+} \frac{u}{tan u} = lim_{u \to 0^+} \frac{u}{sin u} \cdot cos u = 1 $
Ho afferrato, grazie
Questa discussione unita ad altri esercizi mi ha fatto capire che devo far chiarezza
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