Esercizio equazioni differenziali (PDE)

[carlo0702]

Buongiorno, ho difficoltà con un esercizio di equazioni differenziali a derivate parziali, mi potreste indicare come procedere?

Grazie,
Carlo.

[gugo82]

Sembra un esercizio standard... Tentativo tuo?

[carlo0702]

"gugo82":Sembra un esercizio standard... Tentativo tuo?

Non so come risolverlo
Mi potresti aiutare?

[gugo82]

Se non sai nemmeno dove metter mano, è meglio che dedichi un po' di tempo a leggere il testo su cui devi studiare queste cose.
Se non ne hai uno, prova a consultare Evans, Partial Differential Equations, par. 4.1, oppure qualsiasi testo che contenga un paragrafo sul metodo di separazione delle variabili.

[carlo0702]

Ciao, ho studiato e fatto esercizi per x appartenente a R ma in questo esercizio ho due variabili x,y in R2. Non avendo mai visto un esercizio risolto di questo tipo (purtroppo) chiedevo qua per capire come risolverlo.

Carlo.

[gugo82]

Scusa, ma stai studiando PDE o equazioni differenziali ordinarie?
Le PDE sono nel programma del corso che stai seguendo? Che libro ti hanno consigliato?

[carlo0702]

Ciao, sto seguendo un corso solo sulle PDE, il testo consigliato è quello di salsa ma non viene seguito dal docente.
La mia difficoltà era semplicemente sulle risoluzione dell'esercizio, in quanto non so come usare il metodo delle serie per due variabili (x,y)

Carlo.

[gugo82]

Sui libri di Salsa, cioé PDEs in Action - From Modelling to Theory e EDP: Metodi, Modelli, Applicazioni, c'è un paragrafo sulla separazione delle variabili, nel capitolo su onde e vibrazioni, insieme ad altri modi per rappresentare le soluzioni (tipo, formula di d'Alembert).
L'hai letto?

[carlo0702]

Il mio problema non è capire il metodo di separazione di variabili ma solo come risolvere quel particolare problema. Non avendo mai visto risolto un esercizio di quel tipo chiedevo qua se qualcuno mi poteva aiutare con la risoluzione.

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[gugo82]

Il tuo problema è capire la teoria per risolvere l'esercizio.
Gli esercizi si svolgono dopo aver studiato la teoria, per imparare a padroneggiarne i concetti ed i metodi... Ma arrivato a questo punto del tuo percorso di studi dovresti averlo capito da solo.

Se non leggi la teoria e non provi a fare i conti passo-passo così come indicato, non c'è nulla che noi possiamo fare per te.

[gugo82]

Un piccolo trucco che potresti provare.

Chiaramente \(\Delta\) (che è preso rispetto alle variabili "spaziali" \(x\) ed \(y\)) annichila pezzi della soluzione che dipendono unicamente dal tempo.
Pertanto, per semplificarti la vita, potresti cercare la soluzione nella forma:
\[
u(x,y,t) = U(x,y,t) + h(t)\; ,
\]
con \(h\) scelto in modo da "uccidere" il temine noto dell'equazione.
Infatti, calcolando avresti:
\[
\begin{split}
u_{tt} &= U_{tt} + \ddot{h}\\
\Delta u &= \Delta U
\end{split}
\]
cosicché la tua PDE diverrebbe:
\[
\underbrace{\square U}_{=: U_{tt} - \Delta U} + \ddot{h} = t
\]
e si semplifica, diventando omogenea, se scegli \(h\) in guisa che \(\ddot{h}=t\), cioé \(h(t)=\frac{1}{6}t^3\).
A tal punto, per determinare \(u\) ti basta trovare \(U\) risolvendo l'equazione delle onde omogenea \(\square U = 0\) con le condizioni iniziali ricavabili dalla relazione:
\[
U(x,y,t) = u(x,y,t) - \frac{1}{6}\ t^3\; ,
\]
cioé:
\[
\begin{split}
U &= \frac{1}{6}\ t^3\qquad \text{su } \partial \Omega \times ]0,T]\\
U &= 0 \qquad \text{su } \Omega\\
U_t &= 0 \qquad \text{su } \Omega\; .
\end{split}
\]

[dissonance]

"gugo82":Un piccolo trucco che potresti provare.

Chiaramente \(\Delta\) (che è preso rispetto alle variabili "spaziali" \(x\) ed \(y\)) annichila pezzi della soluzione che dipendono unicamente dal tempo.
Pertanto, per semplificarti la vita, potresti cercare la soluzione nella forma:
\[
u(x,y,t) = U(x,y,t) + h(t)\; ,
\]
con \(h\) scelto in modo da "uccidere" il temine noto dell'equazione.
Infatti, calcolando avresti:
\[
\begin{split}
u_{tt} &= U_{tt} + \ddot{h}\\
\Delta u &= \Delta U
\end{split}
\]
cosicché la tua PDE diverrebbe:
\[
\underbrace{\square U}_{=: U_{tt} - \Delta U} + \ddot{h} = t
\]
e si semplifica, diventando omogenea, se scegli \(h\) in guisa che \(\ddot{h}=t\), cioé \(h(t)=\frac{1}{6}t^3\).
A tal punto, per determinare \(u\) ti basta trovare \(U\) risolvendo l'equazione delle onde omogenea \(\square U = 0\) con le condizioni iniziali ricavabili dalla relazione:
\[
U(x,y,t) = u(x,y,t) - \frac{1}{6}\ t^3\; ,
\]
cioé:
\[
\begin{split}
U &= \frac{1}{6}\ t^3\qquad \text{su } \partial \Omega \times ]0,T]\\
U &= 0 \qquad \text{su } \Omega\\
U_t &= 0 \qquad \text{su } \Omega\; .
\end{split}
\]

Bellino il trucco!

[gugo82]

"dissonance":Bellino il trucco!

Un trucco della serie "La notte porta consiglio"... Ci ho pensato stanotte prima di prender sonno.
Chissà se funziona davvero.
Spero che lo OP ce lo faccia sapere.

[carlo0702]

Ciao, ho letto la risposta nei giorni scorsi e ti rispondo solo ora perchè prima ho voluto chiarirmi con l'insegnante.
Quel "tipo" di problemi era presente nei temi d'esame degli anni scorsi, quindi preoccupato per non averne mai svolti ho chiesto qua. Il punto è che quest'anno non abbiamo affrontato quel tipo di problemi (mi sembrava infatti...) e quindi non sapevo come risolverlo.

Spero di aver chiarito tutto, grazie per l'aiuto.

Carlo.