Esercizio equazioni differenziali

[Ale88ssia]

Salve!
avrei bisogno di un piccolo suggerimento per svolgere questo esercizio di equazioni differenziali :

Abbiamo un' equazione differenziale \(\displaystyle y'' + 4y = 3cosx \) , dato il problema ai limiti
\(\displaystyle y(x1) = \alpha \) e \(\displaystyle y(x2)= \beta \) con \(\displaystyle 0
grazie in anticipo!

[ciampax]

Per prima cosa risolvi l'equazione nel modo classico:
1) trovi la soluzione dell'omogenea;
2) trovi la soluzione particolare;
3) determini la soluzione del problema di Cauchy imponendo le condizioni iniziali.

A questo punto, otterrai un sistema di equazioni (di tipo trigonometrico) nelle incognite $x_1,\ x_2$ e dipendente dai parametri $\alpha,\beta$. Quello che devi fare è risolvere tale sistema facendo in modo che le soluzioni non dipendano dai due parametri.

Prova e fammi sapere.

EDIT: una correzione (ho provato a svolgerlo velocemente). In realtà una volta trovata la soluzione del problema di cauchy, ti accorgi che le costanti arbitrarie di tale problema $C_1,\ C_2$ si possono determinare sempre a patto di imporre una certa condizione ai valori di $x_1,\ x_2$. E' questo ciò che devi determinare.

[Ale88ssia]

Innanzitutto grazie per avermi risposto! intanto ho provato a fare i punti 1) e 2) e vorrei chiederti se secondo te sono giusti..altrimenti il proseguimento dell'esercizio sarà sbagliato...

1) soluzione dell'omogenea : \(\displaystyle y(t) = c1cos2t + c2sin2t \)

2) soluzione particolare :
\(\displaystyle y(t)=c1cos2t + c2sin2t +\frac{1}{4}(cos3t + 3cost)cos2t + \frac{1}{4}(sin3t + 3sint)sin2t \)

[ciampax]

Con l'omogenea ci siamo. Ma la particolare non è quella che scrivi tu. Una soluzione particolare $y_p$ è quella per cui, sostituendo nella equazione originale si ottiene il termine noto. Quella che hai scritto è la soluzione generale (somma della omogenea e della particolare) anche se a me la particolare è venuta $y_p=\cos x$. Hai usato la variazione delle costanti per caso? Allora molto probabilmente tutta quella roba si semplifica, e ti conviene farlo.

In ogni caso, la soluzione che trovi è questa

$y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\cos x$

Ora, come dicevo prima, se sostituisci in essa le condizioni, ottieni il sistema per determinare $C_1,\ C_2$ ma, dovresti accorgerti facendo un paio di conti veloci, che esso si può risolvere sempre a patto di imporre una qualche condizione ai valori $x_1,\ x_2$.

[Ale88ssia]

ok sono una frana scusami per tutti questi errori...

si quella che avevo scritto io al punto 2) era a questo punto la soluzione generale...e si ho usato il metodo della variazione delle costanti..strada piuttosto lunga...
quindi ho rifatto tutti i calcoli e anche a me è venuta come soluzione particolare y = cost e quindi la soluzione finale y = c1 cos2t + c2 sin2t + cost

ora procedendo con l'esercizio ho trovato due possibili valori da assegnare ad x1 e x2 e vorrei chiederti se potrebbero essere giusti x1 = (pigreco)\2 e x2 = pigreco ricordando sempre le condizioni iniziali che dovevano essere 0

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[ciampax]

Solo due? A me ne venivano un po' di più. Come hai proceduto?

[Ale88ssia]

allora io dopo aver trovato la soluzione generale dovrei aver proceduto determinando la soluzione del problema di Cauchy imponendo le condizioni iniziali, quindi mi viene un sistema con :

alpha= c1 cos2x1 + c2sin2x1+ cosx1

beta = c1 cos2x2 + c2sin2x2+ cosx2

dopodiché ho assegnato valori ad x1 e x2... senza andare a svolgere tutto il problema per determinare c1 e c2..

[ciampax]

Eh no, tu quello che vuoi fare è risolvere il sistema per trovare $C_1, C-2$ e la richiesta è, in pratica, che tu possa risolverlo sempre, a prescindere dalla scelta di $x_1,\ x_2$. Ti viene in mente un qualche metodo che ti permetta di affermare una cosa del genere velocemente?

[Ale88ssia]

a me l'unica cosa che mi viene in mente per vedere meglio il tutto è mettere il sistema sotto forma di matrici...
ovvero

[tex]\binom {\alpha}{\beta} =\begin{Bmatrix} cos2x1 & sin2x1 \\ cos2x2 & sin2x2 \end{Bmatrix} \binom{c1}{c2}[/tex]

[ciampax]

Sei ad un passo dalla verità: ora, quando scrivi un sistema così, ti viene in mente una regola che ti assicura di poterlo risolvere sempre? Tu lo hai scritto, in pratica, come $Ax=b$, con $A$ matrice dei coefficienti, $x$ vettore delle incognite e $b$ vettore dei termini noti, e se lo volessi risolvere dovresti poterlo scrivere come $x=A^{-1} b$.... ma questa cosa quando la puoi fare?

[Ale88ssia]

quando il determinante della matrice A è diverso da 0 ?

[ciampax]

Esatto! A questo punto hai finito: scrivi quella condizione (determinante diverso da zero) e risolvilo per trovare una condizione su $x_1,\ x_2$.

[Ale88ssia]

yeeeeh! direi che ora sia tutto chiaro e posso concludere l'esercizio!
guarda io ti ringrazio tantissimo per avermi aiutata e soprattutto avermi aiutata in questo modo e cioè facendomi lavorare da sola guidata dai tuoi preziosi aiuti...ho imparato davvero molto di piu!

un saluto!

[ciampax]

Prego, è stato un piacere. Quando vuoi sono qua.

P.S.: ma alla fine che soluzione hai trovato? Giusto per vedere se mi torna.