Esercizio equazioni alle differenze lineari
Ciao vorrei chiedere un aiuto per la risoluzione di un esercizio sulle equazioni alle differenze lineari, questo è il semplice testo:
"Soluzione generale dell'equazione $a_(n+1)=a_n-a_(n-1)$"
In classe abbiamo risolto l'esercizio solo che non ho capito il passaggio dal trovare le soluzioni dell'equazione caratteristica, che in questo caso sono due radici complesse, al trovare la soluzione generale, se qualcuno mi potesse illuminare ne sarei infinitamente grato
"Soluzione generale dell'equazione $a_(n+1)=a_n-a_(n-1)$"
In classe abbiamo risolto l'esercizio solo che non ho capito il passaggio dal trovare le soluzioni dell'equazione caratteristica, che in questo caso sono due radici complesse, al trovare la soluzione generale, se qualcuno mi potesse illuminare ne sarei infinitamente grato
Risposte
Ciao. L'equazione ti descrive un insieme di successioni, accomunate da quella proprietà di ricorrenza. L'obiettivo è trovare una formula più compatta che ti descriva lo stesso insieme. Infatti, con questa formula, se conosci $a_0$ e $a_1$, per trovare $a_1000$, dovresti calcolare uno alla volta tutti i termini successivi, fino al milleunesimo.
Supponiamo che esista una formula $a_n=f(n)$ che rispetti la proprietà di ricorrenza. Supponiamo inoltre che sia del tipo $f(n)=x^n$, con $x$ fissato.
Ora si impone che valga la proprietà di ricorrenza:
$x^(n+1)=x^n -x^(n-1)$
Semplificando:
$x^2 = x -1$
Così trovi due possibili valori di $x$ che soddisfano la proprietà.
Chiamati $x$ e $y$ questi due valori, si dimostra facilmente con i conti che una qualsiasi funzione del tipo:
$f(n)=lambda*x^n + mu*y^n$, con $lambda$ e $mu$ costanti fissate
rispetta l'equazione di ricorrenza.
L'ultimo passo è quello di fare vedere che qualunque successione che obbedisca all'equazione, è scrivibile come una funzione del tipo trovato.
A tal proposito osserviamo che una successione è definita dai suoi valori $a_0$ e $a_1$. Basta allora scegliere $lambda$ e $mu$ in modo che:
${(lambda+mu=a_0),(lambda*x + mu*y=a_1):}
Se $x!=y$ il sistema ammette soluzione.
Supponiamo che esista una formula $a_n=f(n)$ che rispetti la proprietà di ricorrenza. Supponiamo inoltre che sia del tipo $f(n)=x^n$, con $x$ fissato.
Ora si impone che valga la proprietà di ricorrenza:
$x^(n+1)=x^n -x^(n-1)$
Semplificando:
$x^2 = x -1$
Così trovi due possibili valori di $x$ che soddisfano la proprietà.
Chiamati $x$ e $y$ questi due valori, si dimostra facilmente con i conti che una qualsiasi funzione del tipo:
$f(n)=lambda*x^n + mu*y^n$, con $lambda$ e $mu$ costanti fissate
rispetta l'equazione di ricorrenza.
L'ultimo passo è quello di fare vedere che qualunque successione che obbedisca all'equazione, è scrivibile come una funzione del tipo trovato.
A tal proposito osserviamo che una successione è definita dai suoi valori $a_0$ e $a_1$. Basta allora scegliere $lambda$ e $mu$ in modo che:
${(lambda+mu=a_0),(lambda*x + mu*y=a_1):}
Se $x!=y$ il sistema ammette soluzione.
grazie mille per la spiegazione molto comprensibile. Sono riuscito a svolgere correttamente altri esercizi simili però queso qui non ho capito la risoluzione, potresti postare la tua risoluzione? Grazie, Marco
L'equazione generale è:
$x^2 -x+1=0$
Le soluzioni:
$x=(1+-sqrt(-3))/2 =(1+-sqrt(3)i)/2$
La soluzione generale è:
$a_n = lambda*((1+sqrt(3)i)/2)^n + mu*((1-sqrt(3)i)/2)^n $
$x^2 -x+1=0$
Le soluzioni:
$x=(1+-sqrt(-3))/2 =(1+-sqrt(3)i)/2$
La soluzione generale è:
$a_n = lambda*((1+sqrt(3)i)/2)^n + mu*((1-sqrt(3)i)/2)^n $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo