Esercizio equazione differenziale non lineare

[Matemagica11]

Ciaoo a tutti,
Avrei bisogno di un aiuto con questa equazione differenziale
$$y'(x) =sin(y(x)+x^2) $$
con la condizione iniziale $y(0)=0$

Devo dimostrare che $y(x)>0$ se $x\in(0,\sqrt(\pi))$ non so proprio come fare! Avete qualche consiglio anche su possibili testi da consultare?

[l'abatefarina]

beh, con un po' di studio qualitativo..
$y'(0)=y'(0)=0;y'''(0)>0$
la soluzione ha quindi in $x=0$ un punto di flesso a tangente orizzontale e nello stesso punto è crescente quindi diventa positiva
$y'>0$ per $ 0 il grafico della soluzione interseca il grafico di $y=pi-x^2$ in un punto di ascissa $x in questo punto la soluzione ha un massimo relativo e comincia a decrescere ma si mantiene al di sopra del grafico di $y=pi-x^2$ ( se lo riattraversasse andando sotto si otterrebbe un assurdo )
siccome fino a $x=sqrtpi$ escluso si ha $pi-x^2>0$ è chiaro anche la soluzione è positiva in questo intervallo

[Matemagica11]

"l'abatefarina":beh, con un po' di studio qualitativo..
$y'(0)=y'(0)=0;y'''(0)>0$
la soluzione ha quindi in $x=0$ un punto di flesso a tangente orizzontale e nello stesso punto è crescente quindi diventa positiva
$y'>0$ per $ 0 il grafico della soluzione interseca il grafico di $y=pi-x^2$ in un punto di ascissa $x in questo punto la soluzione ha un massimo relativo e comincia a decrescere ma si mantiene al di sopra del grafico di $y=pi-x^2$ ( se lo riattraversasse andando sotto si otterrebbe un assurdo )
siccome fino a $x=sqrtpi$ escluso si ha $pi-x^2>0$ è chiaro anche la soluzione è positiva in questo intervallo

Grazie mille! Avevo provato così ma poi mi bloccavo a metà...