Esercizio Equazione Differenziale Completa
Salve a tutti,
circa questo esercizio: $ y''-2y'-15y=xe^(-3x) $
Innanzitutto risolvo l'omogenea: $ y_p(x)=c_1e^(-3x)+c_2e^(5x) $ .
Sul libro riporta che in base al termine noto la soluzione è del tipo $ y_p(x)=(Ax+B)xe^(-3x) $ però non mi torna questo: la soluzione (della non omogenea) si trova tenendo ben presente quali sono le soluzioni dell'omogenea, perchè se tale soluzione è la stessa di quest'ultima è ovvio che non mi risolve il problema, ma in questo caso se prendessi una soluzione nella forma $ y_p(x)=(Ax+B)e^(-3x) $ (quindi senza alzare il grado) essa non è soluzione dell'omogena perchè andando a sostituire nella omogenea questa non mi fa zero, quindi si potrebbe usare no? Invece no! Perchè?
Sul libro come indicazioni mi dice solo che se $\alpha$ è soluzione dell'omogenea allora bisogna ricondursi al caso sopra citato ($ y_p(x)=(Ax+B)xe^(-3x) $), ma perchè? Nel senso, se il termine noto fosse stato solo $e^(-3x) $ sarebbe stato uguale alla soluzione dell'omogenea e quindi... ma c'è una $x$ moltiplicata e quindi non è più soluzione. Perchè non posso ricondurmi al caso $ y_p(x)=(Ax+B)e^(-3x) $ invece di dover alzare il grado del polinomio?
Grazie!
circa questo esercizio: $ y''-2y'-15y=xe^(-3x) $
Innanzitutto risolvo l'omogenea: $ y_p(x)=c_1e^(-3x)+c_2e^(5x) $ .
Sul libro riporta che in base al termine noto la soluzione è del tipo $ y_p(x)=(Ax+B)xe^(-3x) $ però non mi torna questo: la soluzione (della non omogenea) si trova tenendo ben presente quali sono le soluzioni dell'omogenea, perchè se tale soluzione è la stessa di quest'ultima è ovvio che non mi risolve il problema, ma in questo caso se prendessi una soluzione nella forma $ y_p(x)=(Ax+B)e^(-3x) $ (quindi senza alzare il grado) essa non è soluzione dell'omogena perchè andando a sostituire nella omogenea questa non mi fa zero, quindi si potrebbe usare no? Invece no! Perchè?
Sul libro come indicazioni mi dice solo che se $\alpha$ è soluzione dell'omogenea allora bisogna ricondursi al caso sopra citato ($ y_p(x)=(Ax+B)xe^(-3x) $), ma perchè? Nel senso, se il termine noto fosse stato solo $e^(-3x) $ sarebbe stato uguale alla soluzione dell'omogenea e quindi... ma c'è una $x$ moltiplicata e quindi non è più soluzione. Perchè non posso ricondurmi al caso $ y_p(x)=(Ax+B)e^(-3x) $ invece di dover alzare il grado del polinomio?
Grazie!
Risposte
quello che devi guardare non è l'intero termine ma solo l'esponente dell'esponenziale (scusa il gioco di parole!). prova a vedere se questo può esserti utile! 
Sono più o meno le stesse cose che ho sul mio libro, ma ancora non è chiaro.. vedo se riesco a capire, grazie comunque!
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