Esercizio equazione differenziale
Salve a tutti,
ho dei problemi (che sono indicati alla fine ) con il seguente esercizio.
ESERCIZIO
Si trovino tutte le soluzioni di
$y''=(y')^{2}\cdot\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$
Svolgimento
Sia $f(x,y,y'):=(y')^{2}\cdot\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$
Risulta che $f,f_{y},f_{y'}$ sono definite e continue in $\mathbb{R}\times(\mathbb{R}_{+}^{*}\times\mathbb{R})$.
Percui $\forall(x_{0},y_{0},y_{1})\mathbb{R}\times(\mathbb{R}_{+}^{*}\times\mathbb{R})\in$
esiste un unica $y:I\to\mathbb{R}$ , con $I$ intervallo
opportuno contenente $x_{0}$, soluzione del problema di Cauchy
$y''=(y')^{2}\cdot\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$, $y(x_{0})=y_{0}$, $y'(x_{0})=y_{1}$
Risolviamo ora effettivamente l'equazione differenziale.
Poniamo $z(y):=y'\Rightarrow y''=z'(y)y'=z'(y)z$.
Sostituendo otteniamo l'equazione equivalente a variabili separabili
$z'z=z{}^{2}\cdot\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$ che chiamerò $(2)$
I CASO:
Se $z=0$ allora la $(2)$$\Leftrightarrow$è soddisfatta, perchè
otterrei $0=0$ che è un identità.
Ma $z=0\Leftrightarrow$$y'=0\Leftrightarrow y(x)=c\in\mathbb{R}_{+}^{*}$
che è in effeti una soluzione della $(1)$.
II CASO:
Se $z\ne 0$ allora la $(2)\Leftrightarrow$$z'=z\cdot\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$$\Leftrightarrow\frac{z'}{z}=\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$
ed integrando entrambi i membri rispetto ad $y$ abbiamo
$log|z|=-\sqrt{y}+log(\sqrt{y})+c_{1}\Leftrightarrow log(\frac{|z|}{\sqrt{y}})=-\sqrt{y}+c_{1}\Leftrightarrow\frac{|z|}{\sqrt{y}}=e^{-\sqrt{y}}e^{c_{1}}\Leftrightarrow|z|=\sqrt{y}\cdot e^{-\sqrt{y}}e^{c_{1}}$
$\Leftrightarrow|y'|=\sqrt{y}\cdot e^{-\sqrt{y}}e^{c_{1}}\Leftrightarrow$$y'=\pm c_{2}\sqrt{y}\cdot e^{-\sqrt{y}}$
e dunque
$y'=c_{3}\sqrt{y}\cdot e^{-\sqrt{y}}$ dove $c_{3}\in\mathbb{R}^{*}$
il che implica, integrando
$y=c_{3}(-2e^{-\sqrt{y}}(y+2\sqrt{y}+2)+c_{4})$ con $c_{4}\in\mathbb{R}$
---------------------------------------------------------------
Ora il problema è che non riesco ad invertire l'espressione di sopra
rispetto ad $y$, equindi non riesco a trovare la forma esplicita
della soluzione.
Potrei anche concludere dicendo "le soluzioni sono quelle che
soddisfano la relazione di cui sopra''; però volendo ad esempio trovare
le 2 costanti $c_{3}$, $c_{4}$ tali che
$y(e)=1,$ $y'(e)=2/e$
non ho capito come si procede, nel caso non si riesca a trovare l'espressione
esplicita della $y$.
Grazie a tutti
PS: per il calcolo degli integrali ho usato MAPLE quindi almeno quelli
dovrebbero essere a posto.
ho dei problemi (che sono indicati alla fine ) con il seguente esercizio.
ESERCIZIO
Si trovino tutte le soluzioni di
$y''=(y')^{2}\cdot\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$
Svolgimento
Sia $f(x,y,y'):=(y')^{2}\cdot\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$
Risulta che $f,f_{y},f_{y'}$ sono definite e continue in $\mathbb{R}\times(\mathbb{R}_{+}^{*}\times\mathbb{R})$.
Percui $\forall(x_{0},y_{0},y_{1})\mathbb{R}\times(\mathbb{R}_{+}^{*}\times\mathbb{R})\in$
esiste un unica $y:I\to\mathbb{R}$ , con $I$ intervallo
opportuno contenente $x_{0}$, soluzione del problema di Cauchy
$y''=(y')^{2}\cdot\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$, $y(x_{0})=y_{0}$, $y'(x_{0})=y_{1}$
Risolviamo ora effettivamente l'equazione differenziale.
Poniamo $z(y):=y'\Rightarrow y''=z'(y)y'=z'(y)z$.
Sostituendo otteniamo l'equazione equivalente a variabili separabili
$z'z=z{}^{2}\cdot\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$ che chiamerò $(2)$
I CASO:
Se $z=0$ allora la $(2)$$\Leftrightarrow$è soddisfatta, perchè
otterrei $0=0$ che è un identità.
Ma $z=0\Leftrightarrow$$y'=0\Leftrightarrow y(x)=c\in\mathbb{R}_{+}^{*}$
che è in effeti una soluzione della $(1)$.
II CASO:
Se $z\ne 0$ allora la $(2)\Leftrightarrow$$z'=z\cdot\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$$\Leftrightarrow\frac{z'}{z}=\frac{1-\sqrt{y}}{2y}$
ed integrando entrambi i membri rispetto ad $y$ abbiamo
$log|z|=-\sqrt{y}+log(\sqrt{y})+c_{1}\Leftrightarrow log(\frac{|z|}{\sqrt{y}})=-\sqrt{y}+c_{1}\Leftrightarrow\frac{|z|}{\sqrt{y}}=e^{-\sqrt{y}}e^{c_{1}}\Leftrightarrow|z|=\sqrt{y}\cdot e^{-\sqrt{y}}e^{c_{1}}$
$\Leftrightarrow|y'|=\sqrt{y}\cdot e^{-\sqrt{y}}e^{c_{1}}\Leftrightarrow$$y'=\pm c_{2}\sqrt{y}\cdot e^{-\sqrt{y}}$
e dunque
$y'=c_{3}\sqrt{y}\cdot e^{-\sqrt{y}}$ dove $c_{3}\in\mathbb{R}^{*}$
il che implica, integrando
$y=c_{3}(-2e^{-\sqrt{y}}(y+2\sqrt{y}+2)+c_{4})$ con $c_{4}\in\mathbb{R}$
---------------------------------------------------------------
Ora il problema è che non riesco ad invertire l'espressione di sopra
rispetto ad $y$, equindi non riesco a trovare la forma esplicita
della soluzione.
Potrei anche concludere dicendo "le soluzioni sono quelle che
soddisfano la relazione di cui sopra''; però volendo ad esempio trovare
le 2 costanti $c_{3}$, $c_{4}$ tali che
$y(e)=1,$ $y'(e)=2/e$
non ho capito come si procede, nel caso non si riesca a trovare l'espressione
esplicita della $y$.
Grazie a tutti
PS: per il calcolo degli integrali ho usato MAPLE quindi almeno quelli
dovrebbero essere a posto.
Risposte
Avendo implicitamente la soluzione [tex]$y=c_3[-2e^{-\sqrt y}(y+2\sqrt y+2)+c_4]$[/tex] e la sua derivata prima [tex]$\dot y=c_3\sqrt ye^{-\sqrt y}$[/tex], imponi le condizioni iniziali ad esse, metti a sistema le espressioni che ti vengono e cerchi di risolverle! 
Ti ringrazio molto!
Prego, di nulla!
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