Esercizio equazione differenziale
Salve, avrei bisogno di una mano su questo tipo di esercizi, in particolare sulla discussione qualitativa delle soluzioni:
Allora, la traccia dice:
Data l'equazione differeziale \(\displaystyle y' = ty- \frac{t}{y^{2}} \),
a) discutere l'applicabilità dei teoremi di esistenza e unicità locale e globale;
b) determinare le soluzioni e tracciare il grafico di qualche soluzione rappresentativa, evidenziandone la monotonia e l'andamento agli estremi dei rispettivi intervalli di esistenza:
c) risolvere il problema di cauchy con \(\displaystyle y(0) = yo \) con \(\displaystyle yo \in {-1, 1/2, 2} \);
Allora, vedo che il dominio della eq. è tutto R eccetto il punto 0, quindi \(\displaystyle DomY = R - {0} \).
La soluzione stazionaria è \(\displaystyle y=1 \);
Osservo che è continua, ammette derivata e anch'essa è continua, dunque Loclamente Lip., dunque vale il teorema di esistenza e unicità locale. Quello globale viene meno perché viene meno la sub-linearità della funzione.
Risolvo per variabili separabili e trovo la soluzione \(\displaystyle y = \sqrt[3]{ce^{ \frac{3}{2} t^{2}} +1} \)
E. arrivando qui, compio il disastro, cioè faccio un casino nel punto b. Non so proprio da dove partire, cioè sì lo so, ma non riesco a dare un'impostazione all'esercizio che mi porti alla soluzione corretta.
Cioè, io banalmente valuto c=0, c>0 e c<0, ma sbaglio, cioè la professoressa dice che è sbaglio e infatti facendo così le soluzioni sul grafico si vengono ad intersecare. Come fare? Ho studiato da autodidatta, e questa parte di risoluzione non l'ho affatto trovaga né sugli appunti né su internet, quindi non so proprio come porvi riparo..
Allora, la traccia dice:
Data l'equazione differeziale \(\displaystyle y' = ty- \frac{t}{y^{2}} \),
a) discutere l'applicabilità dei teoremi di esistenza e unicità locale e globale;
b) determinare le soluzioni e tracciare il grafico di qualche soluzione rappresentativa, evidenziandone la monotonia e l'andamento agli estremi dei rispettivi intervalli di esistenza:
c) risolvere il problema di cauchy con \(\displaystyle y(0) = yo \) con \(\displaystyle yo \in {-1, 1/2, 2} \);
Allora, vedo che il dominio della eq. è tutto R eccetto il punto 0, quindi \(\displaystyle DomY = R - {0} \).
La soluzione stazionaria è \(\displaystyle y=1 \);
Osservo che è continua, ammette derivata e anch'essa è continua, dunque Loclamente Lip., dunque vale il teorema di esistenza e unicità locale. Quello globale viene meno perché viene meno la sub-linearità della funzione.
Risolvo per variabili separabili e trovo la soluzione \(\displaystyle y = \sqrt[3]{ce^{ \frac{3}{2} t^{2}} +1} \)
E. arrivando qui, compio il disastro, cioè faccio un casino nel punto b. Non so proprio da dove partire, cioè sì lo so, ma non riesco a dare un'impostazione all'esercizio che mi porti alla soluzione corretta.
Cioè, io banalmente valuto c=0, c>0 e c<0, ma sbaglio, cioè la professoressa dice che è sbaglio e infatti facendo così le soluzioni sul grafico si vengono ad intersecare. Come fare? Ho studiato da autodidatta, e questa parte di risoluzione non l'ho affatto trovaga né sugli appunti né su internet, quindi non so proprio come porvi riparo..
Risposte
La tua soluzione direi che è corretta tranne che hai tolto il modulo della soluzione (era $ln|y^3-1|=...$) senza giustificare il passaggio
direi che hai ragionato bene... consideri prima $c=0$ e viene
$y=1$
che è la prima curva...
poi STUDI le funzioni con c>0 (una qualsiasi)
poi STUDI le funzioni con c<0 (una qualsiasi)
in pratica fai lo studio di funzione vero e proprio
allego il grafico di un po' di curve
direi che hai ragionato bene... consideri prima $c=0$ e viene
$y=1$
che è la prima curva...
poi STUDI le funzioni con c>0 (una qualsiasi)
poi STUDI le funzioni con c<0 (una qualsiasi)
in pratica fai lo studio di funzione vero e proprio
allego il grafico di un po' di curve
piccola osservazione : la vedo difficile che la funzione $ y=root(3)(ce^(3t^2)+1) $ all'infinito abbia asintoto orizzontale e che abbia l'asse delle $y$ come asintoto verticale visto che il suo dominio è tutto $mathbbR$
"quantunquemente":
piccola osservazione : la vedo difficile che la funzione $ y=root(3)(ce^(3t^2)+1) $ all'infinito abbia asintoto orizzontale e che abbia l'asse delle $y$ come asintoto verticale visto che il suo dominio è tutto $mathbbR$
ops... mi sono fidato dell'elettronica senza controllare... hai ragione!
rifatto i grafici, grazie della osservazione!
io direi di impostare così : esaminiamo il problema di cauchy
$ { ( y'=ty-t/y^2 ),( y(0)=alpha ):} $
se $alpha >1$ la $y$ resta maggiore di $1$ sempre e quindi si ha $y^3-1=ke^(3t^2)$ con $k>0$ cioè $ y=root(3)(1+ke^(3t^2))
$
imponendo la condizione $y(0)=alpha$ si ha $ y=root(3)(1+(alpha^2-1)e^(3t^2)) $
la derivata della soluzione è nulla in $t=0$ ed in questo punto la funzione assume minimo assoluto
inoltre, $ lim_(t -> infty) y=+infty $
analogamente si può ragionare per $alpha<1$ con $alphane 0$
tutto in accordo con i grafici di mazzarri
$ { ( y'=ty-t/y^2 ),( y(0)=alpha ):} $
se $alpha >1$ la $y$ resta maggiore di $1$ sempre e quindi si ha $y^3-1=ke^(3t^2)$ con $k>0$ cioè $ y=root(3)(1+ke^(3t^2))
$
imponendo la condizione $y(0)=alpha$ si ha $ y=root(3)(1+(alpha^2-1)e^(3t^2)) $
la derivata della soluzione è nulla in $t=0$ ed in questo punto la funzione assume minimo assoluto
inoltre, $ lim_(t -> infty) y=+infty $
analogamente si può ragionare per $alpha<1$ con $alphane 0$
tutto in accordo con i grafici di mazzarri
"mazzarri":
La tua soluzione direi che è corretta tranne che hai tolto il modulo della soluzione (era $ln|y^3-1|=...$) senza giustificare il passaggio
direi che hai ragionato bene... consideri prima $c=0$ e viene
$y=1$
che è la prima curva...
poi STUDI le funzioni con c>0 (una qualsiasi)
poi STUDI le funzioni con c<0 (una qualsiasi)
in pratica fai lo studio di funzione vero e proprio
allego il grafico di un po' di curve
la soluzione stazionaria y=1 non è da tracciare?
comunque, quindi in questi casi, posto che devo analizzare c>0 e c<0, come tu hai detto devo prendere ad esempio c=2 o un c=-1 e poi, rispettivamente, devo fare una sorta di studio di funzione come quelli di analisi 1? (ovviamente non penso dettagliatamente)
(comunque il grafico mi era uscito come quello da te proposto, salvo poi fare un disastro...
)
"quantunquemente":
io direi di impostare così : esaminiamo il problema di cauchy
$ { ( y'=ty-t/y^2 ),( y(0)=alpha ):} $
se $alpha >1$ la $y$ resta maggiore di $1$ sempre e quindi si ha $y^3-1=ke^(3t^2)$ con $k>0$ cioè $ y=root(3)(1+ke^(3t^2))
$
imponendo la condizione $y(0)=alpha$ si ha $ y=root(3)(1+(alpha^2-1)e^(3t^2)) $
la derivata della soluzione è nulla in $t=0$ ed in questo punto la funzione assume minimo assoluto
inoltre, $ lim_(t -> infty) y=+infty $
analogamente si può ragionare per $alpha<1$ con $alphane 0$
tutto in accordo con i grafici di mazzarri
in questo caso il termine a l'hai posto maggiore (e minore) di 1 in merito al fatto che in y=1 vi è solv stazionaria? (e poi banalmente diverso da 0)
"maximus24":
in questo caso il termine a l'hai posto maggiore (e minore) di 1 in merito al fatto che in y=1 vi è solv stazionaria? (e poi banalmente diverso da 0)
sì
perfetto, quindi in merito a quanto avete scritto devo, a seconda di c, fare un vero e proprio studio di funzione, ovviamente non al massimo del dettaglio come si richiede in analisi 1, giusto?
però,non partire direttamente da $c$ ma calcola $c$ in funzione di $alpha$,cioè parti sempre dal problema di Cauchy
"quantunquemente":
però,non partire direttamente da $c$ ma calcola $c$ in funzione di $alpha$,cioè parti sempre dal problema di Cauchy
come mai devo partire da Cauchy? inoltre, in questo caso \(\displaystyle a \) noi l'abbiamo "scelto" a partire dalla solv. stazionaria, cioè abbiamo detto che fosse maggiore o minore di \(\displaystyle 1 \) in merito al fatto che la solv. stazionaria fosse \(\displaystyle y=1 \). Quando invece non vi è una solv. stazionaria, come porre quel \(\displaystyle a \)?
"maximus24":
la soluzione stazionaria y=1 non è da tracciare?
comunque, quindi in questi casi, posto che devo analizzare c>0 e c<0, come tu hai detto devo prendere ad esempio c=2 o un c=-1 e poi, rispettivamente, devo fare una sorta di studio di funzione come quelli di analisi 1? (ovviamente non penso dettagliatamente)
(comunque il grafico mi era uscito come quello da te proposto, salvo poi fare un disastro...
Si tracciala, perchè no?
Io avrei fatto così, pongo c=0, c=1,c=-1 e studio le funzioni come in analisi1, anche se non proprio dettagliatamente, devi ottenere un grafico, capire un po' come si comportano tutte queste curve, una cosa veloce insomma
Quello che ti sta dicendo @quantunquemente è che in questo particolare esercizio ti offrono anche il problema di Cauchy che ti permette di trovare quanto vale la costante di integrazione.. allora lui dice approfittane, x stavolta parti da quel punto e vai a ritroso, il suo consiglio è ottimo!
ah, ecco! perfetto, gentilissimi! vi offrirei una birra per ringraziarvi ma ci si deve accontentare della sola idea 
ancora grazie!
ancora grazie!
"mazzarri":
La tua soluzione direi che è corretta tranne che hai tolto il modulo della soluzione (era $ln|y^3-1|=...$) senza giustificare il passaggio
direi che hai ragionato bene... consideri prima $c=0$ e viene
$y=1$
che è la prima curva...
poi STUDI le funzioni con c>0 (una qualsiasi)
poi STUDI le funzioni con c<0 (una qualsiasi)
in pratica fai lo studio di funzione vero e proprio
allego il grafico di un po' di curve
alla fine ho rifatto il grafico, e per c che va 0 a -1 c'è una discussione a parte da fare
insomma, lo studio qualitativo in generale è da fare con mooooolta attenzione, grazie mille per avermi dato l'input
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