Esercizio Equazione Complessa..
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ragazzi qualcuno sa risorvere questo tipo di equazioni complesse ? $|z|^2+5z+10i=0$ l'esercizio inoltre chiede una volta calcolate le radici dell'equazione, di calcolare le radici quadrate delle soluzioni così trovate.. io cho provato solo che mi imbatto in radicali doppi e nn so bene come ''uscirne''...una volta trovato che $z'=[-5+sqrt(25-40i)]/2$ e $z''=[-5-sqrt(25-40i)]/2$ dovrei calcolare le radici quadrate...ma in che modo ? 
vi ringrazio per l'attenzione 
vi ringrazio per l'attenzione
Risposte
Attento: in generale $|z|^2 \ne z^2$, per esempio $1=|i|^2 \ne -1=i^2$.
Prova a cambiare approccio alla luce di questo.
Prova a cambiare approccio alla luce di questo.
mmh in effetti quel modulo mi ha fatto venire qualche dubbio iniziale...che poi però ho abbandonato tentando di risolvere l'equazione normalmente...inoltre è verissimo che $|z|^2!=z^2$ ma come potrei sfruttarlo nella risoluzione di tale equazione?vediamo..
cioè io so che un generico num complesso $z=a+bi$ ha modulo $|z|=sqrt(a^2 +b^2)$ e che quindi $|z|^2=a^2+b^2$...però ancora nn mi è chairo come sfruttare ciò
cioè io so che un generico num complesso $z=a+bi$ ha modulo $|z|=sqrt(a^2 +b^2)$ e che quindi $|z|^2=a^2+b^2$...però ancora nn mi è chairo come sfruttare ciò
quindi forse la devo considerare come una equazione di primo grado ? 
Se sostituisci $z=a+ib$ il problema è praticamente risolto.
Se sostituisci ottieni:
$|z|^2+5z+10i=0$
$a^2+b^2+5(a+ib)+10i=0$
$(a^2+b^2+5a)+i(5b+10)=0$
Un numero complesso è zero se e solo se sono zero la sua parte reale e la sua parte immaginaria, quindi...
$|z|^2+5z+10i=0$
$a^2+b^2+5(a+ib)+10i=0$
$(a^2+b^2+5a)+i(5b+10)=0$
Un numero complesso è zero se e solo se sono zero la sua parte reale e la sua parte immaginaria, quindi...
accidenti....avevo pensato a sostituire...ma credevo nn si potesse fare..o meglio che nn fosse il caso richiesto dall'esercizio ! 
in effetti è giustissica come soluzione ti ringrazio martino
INVECE per quanto riguarda la seconda parte ? xkè poi mi chiede di trovare le radici quadrate delle soluzioni così ottenute...
in effetti è giustissica come soluzione ti ringrazio martinoINVECE per quanto riguarda la seconda parte ? xkè poi mi chiede di trovare le radici quadrate delle soluzioni così ottenute...
Riciao 
$|z|^2+5z+10i=0$
Bene, le soluzioni vengono ad essere $z_1=-1-2i$, $z_2=-4-2i$. Riscrivendole:
$z_1= \sqrt{5}(-1/\sqrt{5}-2/\sqrt{5}i)$
$z_2= 2\sqrt{5}(-2/\sqrt{5}-i/\sqrt{5})$
Si tratta di due numeri complessi entrambi nel terzo quadrante, il primo ha modulo $\sqrt{5}$ e il secondo $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Il primo ha come argomento $\arctan(2)+\pi$, il secondo $\arctan(1/2)+\pi = 3/2\pi-\arctan(2)$. Per ottenere le radici quadrate devi fare la radice quadrata del modulo e dimezzare l'argomento modulo $2\pi$ (ovvero se l'argomento è $\alpha$ tu otterrai i due argomenti $\alpha/2$ e $(\alpha+2\pi)/2$). Quindi ottieni:
Prima radice quadrata di $z_1$: modulo $5^{1/4}$, argomento $\arctan(2)/2+\pi/2$.
Seconda radice quadrata di $z_1$: modulo $5^{1/4}$, argomento $\arctan(2)/2+3/2\pi$.
Prima radice quadrata di $z_2$: modulo $20^{1/4}$, argomento $3/4\pi-\arctan(2)/2$.
Seconda radice quadrata di $z_2$: modulo $20^{1/4}$, argomento $7/4\pi-\arctan(2)/2$.
Questo basta. Se poi le vuoi scritte per esteso, se non ho fatto errori sono le seguenti (nello stesso ordine):
$5^{1/4}(-\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2}+i\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}) = -\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}+i\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}$,
$5^{1/4}(\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2}-i\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}) = \sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}-i\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}$,
$20^{1/4}(\sqrt{2}/2(-\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}+\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2})+i\sqrt{2}/2(\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}+\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2})) = -\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}+\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}+i(\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}+\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}) = -\sqrt{\sqrt{5}-2}+i\sqrt{\sqrt{5}+2}$,
$20^{1/4}(\sqrt{2}/2(\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}-\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2})+i\sqrt{2}/2(-\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}-\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2})) = \sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}-\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}+i(-\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}-\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}) = \sqrt{\sqrt{5}-2}-i\sqrt{\sqrt{5}+2}$.
Edito: ecco, ho riscritto le ultime due in un modo che fa un po' meno schifo
Edito: ho corretto l'ultimo risultato e verificato tutti e quattro, sono giusti.
$|z|^2+5z+10i=0$
Bene, le soluzioni vengono ad essere $z_1=-1-2i$, $z_2=-4-2i$. Riscrivendole:
$z_1= \sqrt{5}(-1/\sqrt{5}-2/\sqrt{5}i)$
$z_2= 2\sqrt{5}(-2/\sqrt{5}-i/\sqrt{5})$
Si tratta di due numeri complessi entrambi nel terzo quadrante, il primo ha modulo $\sqrt{5}$ e il secondo $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Il primo ha come argomento $\arctan(2)+\pi$, il secondo $\arctan(1/2)+\pi = 3/2\pi-\arctan(2)$. Per ottenere le radici quadrate devi fare la radice quadrata del modulo e dimezzare l'argomento modulo $2\pi$ (ovvero se l'argomento è $\alpha$ tu otterrai i due argomenti $\alpha/2$ e $(\alpha+2\pi)/2$). Quindi ottieni:
Prima radice quadrata di $z_1$: modulo $5^{1/4}$, argomento $\arctan(2)/2+\pi/2$.
Seconda radice quadrata di $z_1$: modulo $5^{1/4}$, argomento $\arctan(2)/2+3/2\pi$.
Prima radice quadrata di $z_2$: modulo $20^{1/4}$, argomento $3/4\pi-\arctan(2)/2$.
Seconda radice quadrata di $z_2$: modulo $20^{1/4}$, argomento $7/4\pi-\arctan(2)/2$.
Questo basta. Se poi le vuoi scritte per esteso, se non ho fatto errori sono le seguenti (nello stesso ordine):
$5^{1/4}(-\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2}+i\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}) = -\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}+i\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}$,
$5^{1/4}(\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2}-i\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}) = \sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}-i\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}$,
$20^{1/4}(\sqrt{2}/2(-\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}+\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2})+i\sqrt{2}/2(\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}+\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2})) = -\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}+\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}+i(\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}+\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}) = -\sqrt{\sqrt{5}-2}+i\sqrt{\sqrt{5}+2}$,
$20^{1/4}(\sqrt{2}/2(\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}-\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2})+i\sqrt{2}/2(-\sqrt{(1+1/\sqrt{5})/2}-\sqrt{(1-1/\sqrt{5})/2})) = \sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}-\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}+i(-\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}-\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}) = \sqrt{\sqrt{5}-2}-i\sqrt{\sqrt{5}+2}$.
Edito: ecco, ho riscritto le ultime due in un modo che fa un po' meno schifo
Edito: ho corretto l'ultimo risultato e verificato tutti e quattro, sono giusti.
grande martì ! solo che scusami ma proprio nn ho capito il passaggio da $(a^2+b^2+5a)+i(5b+10)$ alle effettive radici $z_1=sqrt5(-1/sqrt5-2/sqrt5i)$ $z_2=2sqrt5(-2/sqrt5-i/sqrt5)$
EDiT:
PERFETTO, HO CAPITO baste risolvere rispetto a b (per la parte immaginaria) e rispetto ad a per la parte reale (sostituendo b trovato) thnxxx !!!!!
solo che scusami ma proprio nn ho capito il passaggio da $(a^2+b^2+5a)+i(5b+10)$ alle effettive radici $z_1=sqrt5(-1/sqrt5-2/sqrt5i)$ $z_2=2sqrt5(-2/sqrt5-i/sqrt5)$EDiT:
PERFETTO, HO CAPITO baste risolvere rispetto a b (per la parte immaginaria) e rispetto ad a per la parte reale (sostituendo b trovato) thnxxx !!!!!
Sei arrivato a :
$(a^2+b^2+5a)+i(5b+10) =0 =0+i*0$
Da questo deduci :
$a^2+b^2+5a=0$
$5b+10=0$
da cui ricavi $ b= -2$ .
che sostituito nella prima equazione vuol dire $ a^2+5a-4 =0$
e risolta fornisce $a= -4;a=-1 $
in conclusione le soluzioni dell'equazione iniziale sono i due numeri complessi :
$z_1 = -4-2i ; z_2 = -1-2i $ .
Adesso puoi evidenziare il modulo delle due radici $( |z_1 | = sqrt(20)=2sqrt(5) ; |z_2 | = sqrt(5) ) $ e ottieni
$z_1 = 2sqrt(5)[-2/sqrt(5)-i/sqrt(5)]$
$z_2 = sqrt(5)[-1/sqrt(5)-2i/sqrt(5)]$.
$(a^2+b^2+5a)+i(5b+10) =0 =0+i*0$
Da questo deduci :
$a^2+b^2+5a=0$
$5b+10=0$
da cui ricavi $ b= -2$ .
che sostituito nella prima equazione vuol dire $ a^2+5a-4 =0$
e risolta fornisce $a= -4;a=-1 $
in conclusione le soluzioni dell'equazione iniziale sono i due numeri complessi :
$z_1 = -4-2i ; z_2 = -1-2i $ .
Adesso puoi evidenziare il modulo delle due radici $( |z_1 | = sqrt(20)=2sqrt(5) ; |z_2 | = sqrt(5) ) $ e ottieni
$z_1 = 2sqrt(5)[-2/sqrt(5)-i/sqrt(5)]$
$z_2 = sqrt(5)[-1/sqrt(5)-2i/sqrt(5)]$.
"Camillo":
Sei arrivato a :
$(a^2+b^2+5a)+i(5b+10) =0 =0+i*0$
Da questo deduci :
$a^2+b^2+5a=0$
$5b+10=0$
da cui ricavi $ b= -2$ .
che sostituito nella prima equazione vuol dire $ a^2+5a-4 =0$
e risolta fornisce $a= -4;a=-1 $
in conclusione le soluzioni dell'equazione iniziale sono i due numeri complessi :
$z_1 = -4-2i ; z_2 = -1-2i $ .
Adesso puoi evidenziare il modulo delle due radici $( |z_1 | = sqrt(20)=2sqrt(5) ; |z_2 | = sqrt(5) ) $ e ottieni
$z_1 = 2sqrt(5)[-2/sqrt(5)-i/sqrt(5)]$
$z_2 = sqrt(5)[-1/sqrt(5)-2i/sqrt(5)]$.
un ulteriore conferma del mio ragionamento ..grazie anche a te camillo
Ti riscrivo qui le radici quadrate:
- Radici quadrate di $z_1=-1-2i$:
$-\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}+i\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2},$
$\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}-i\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}$.
- Radici quadrate di $z_2=-4-2i$:
$-\sqrt{\sqrt{5}-2}+i\sqrt{\sqrt{5}+2}$,
$\sqrt{\sqrt{5}-2}-i\sqrt{\sqrt{5}+2}$.
- Radici quadrate di $z_1=-1-2i$:
$-\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}+i\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2},$
$\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}-i\sqrt{(\sqrt{5}+1)/2}$.
- Radici quadrate di $z_2=-4-2i$:
$-\sqrt{\sqrt{5}-2}+i\sqrt{\sqrt{5}+2}$,
$\sqrt{\sqrt{5}-2}-i\sqrt{\sqrt{5}+2}$.
Un Ultima domanda ragazzi ho capito l'esercizio nel complesso ma nn ho ben chiari alcuni passaggi trigonometrici..come avete fatto a trovare i valori precisi di $arctan(2)$ e di $arctan(1/2)$ ? cè un sistema per ricavare tali valori anche se nn sono angoli noti ? ve lo chiedo xkè mi trovo di fronte ad un altro esercizio in cui dovrei calcolarmi $arctan(336/527)$ ah e già che ci sono 
...xkè $arctan(1/2)+pi=(3/2)pi-arctan(2)$ ? e ancora io per il calcolo delle radici $w$ di un num complesso qualsiasi $z=a+bi$ utilizzo la formula d de moivre $w_k=|z|^(1/n)[cos((theta+2kappapi)/n)+isen((theta+2kpi)/n)]$ con $kappa=0,1,2...n-1$w $theta=Arg(z)$ quindi nn avrei dovuto ottenere ad esempio per la prima radice quadrata di $z_1$ --> Modulo $5^(1/4)$ e Argomento $arctan(2)/2 + 0$ per la seconda radice sempre di $z_1$ Modulo $5^(1/4)$ e Argomento $arctan(2)/2 + pi$ ? grazie per le delucidazioni !!!!
ah e già che ci sono ...xkè $arctan(1/2)+pi=(3/2)pi-arctan(2)$ ? e ancora io per il calcolo delle radici $w$ di un num complesso qualsiasi $z=a+bi$ utilizzo la formula d de moivre $w_k=|z|^(1/n)[cos((theta+2kappapi)/n)+isen((theta+2kpi)/n)]$ con $kappa=0,1,2...n-1$w $theta=Arg(z)$ quindi nn avrei dovuto ottenere ad esempio per la prima radice quadrata di $z_1$ --> Modulo $5^(1/4)$ e Argomento $arctan(2)/2 + 0$ per la seconda radice sempre di $z_1$ Modulo $5^(1/4)$ e Argomento $arctan(2)/2 + pi$ ? grazie per le delucidazioni !!!!
"em[A:
":p9bpe4xn]Un Ultima domanda ragazzi ho capito l'esercizio nel complesso ma nn ho ben chiari alcuni passaggi trigonometrici..come avete fatto a trovare i valori precisi di $arctan(2)$ e di $arctan(1/2)$ ? cè un sistema per ricavare tali valori anche se nn sono angoli noti ? ve lo chiedo xkè mi trovo di fronte ad un altro esercizio in cui dovrei calcolarmi $arctan(336/527)$
Non ho calcolato $\arctan(2)$ e $\arctan(1/2)$, non mi servono. Ciò che ho calcolato è $\sin(\arctan(2))$, $\cos(\arctan(2))$, $\sin(\arctan(1/2))$, $\cos(\arctan(1/2))$. Questi numeri sono facili da calcolare usando le identità $\tan x=\sin x/\cos x$ e $\cos^2x+\sin^2x=1$.
ah e già che ci sono
È noto che se $x>0$, $\arctan (x)+\arctan (1/x) = \pi/2$ (per vederlo puoi derivare e vedere che viene zero, quindi valutare in 1).
nn avrei dovuto ottenere ad esempio per la prima radice quadrata di $z_1$ --> Modulo $5^(1/4)$ e Argomento $arctan(2)/2 + 0$ per la seconda radice sempre di $z_1$ Modulo $5^(1/4)$ e Argomento $arctan(2)/2 + pi$ ?
No perché l'argomento di $z_1$ è $\arctan(2)+\pi$, non $\arctan(2)$.
vi ringrazio ho capito tutto ! ma in che università insegnate ??? eh martino ?? 
eh martino ??
"em[A:
":1i7rfrej]vi ringrazio ho capito tutto ! ma in che università insegnate ???
Mi ripeterò, ma io la matematica la sto studiando!
Devo saperle bene queste cose.
Ciao ciao.
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