Esercizio eq.differenziali
Ciao!
Sto vedendo alcuni esercizi sulle eq. differenziali e ho alcuni dubbi. L'eq sarebbe la seguente:
$y''+ y = 1/(cosx + cos^3x)$
Io penso si risolva in questo modo:
L'equazione che devo risolvere è di secondo grado non omogenea e a termini costanti. In questo caso la soluzione, ossia l'integrale generale, è dato dalla somma di una soluzione particolare con una soluzione generale.
Per trovare allora la soluzione generale considero l'eq. omogenea associata, ossia $\lambda^2 + 1 =0$ e, chiamando $y_(om)$ la soluzione generale, ottengo $y_(om) = c_1 cosx + c_2 sinx$ e $y'_(om) = - c'_1 sinx + c'_2 cosx$
A questo punto mi calcolo il Wronskiano e ottengo $W(x)= cos^2x + sin^2x = 1!=0$.
Devo allora calcolarmi solo la soluzione particolare, che chiamo $\bary$ e per questo faccio sistema
$\{(c'_1 cosx + c'_2 sinx =0), (-c'_1 sinx + c'_2 cosx = 1/(cosx+cos^3x)):}$
e a questo punto cerco di trovare $c'_1$ e $c'_2$ tramite il metodo di Cramer e ottengo
$c'_1 = - sinx/(cosx + cos^3x)$
$c'_2 = 1/(1+cos^2x)$
Integro per trovare la primitiva e mi blocco sull'integrale di $c'_1$
Ho provato a risolverlo per parti ma non ne vengo a capo....
Il metodo adottato è corretto?
Grazie a chi mi dedicherà il suo tempo..
Buon ognissanti a tutti
Sto vedendo alcuni esercizi sulle eq. differenziali e ho alcuni dubbi. L'eq sarebbe la seguente:
$y''+ y = 1/(cosx + cos^3x)$
Io penso si risolva in questo modo:
L'equazione che devo risolvere è di secondo grado non omogenea e a termini costanti. In questo caso la soluzione, ossia l'integrale generale, è dato dalla somma di una soluzione particolare con una soluzione generale.
Per trovare allora la soluzione generale considero l'eq. omogenea associata, ossia $\lambda^2 + 1 =0$ e, chiamando $y_(om)$ la soluzione generale, ottengo $y_(om) = c_1 cosx + c_2 sinx$ e $y'_(om) = - c'_1 sinx + c'_2 cosx$
A questo punto mi calcolo il Wronskiano e ottengo $W(x)= cos^2x + sin^2x = 1!=0$.
Devo allora calcolarmi solo la soluzione particolare, che chiamo $\bary$ e per questo faccio sistema
$\{(c'_1 cosx + c'_2 sinx =0), (-c'_1 sinx + c'_2 cosx = 1/(cosx+cos^3x)):}$
e a questo punto cerco di trovare $c'_1$ e $c'_2$ tramite il metodo di Cramer e ottengo
$c'_1 = - sinx/(cosx + cos^3x)$
$c'_2 = 1/(1+cos^2x)$
Integro per trovare la primitiva e mi blocco sull'integrale di $c'_1$
Ho provato a risolverlo per parti ma non ne vengo a capo....Il metodo adottato è corretto?
Grazie a chi mi dedicherà il suo tempo..
Buon ognissanti a tutti
Risposte
Prova così, sicuramente ci sono dei segni da mettere a posto.
$\int -(\sin x)/(\cosx +\cos^3x) dx = \int -\sin x(1/(\cosx)-(\cos x)/(1+\cos^2x)) dx = ln (|\cos x|) + 1/2 ln(1+cos^2 x)$
$\int -(\sin x)/(\cosx +\cos^3x) dx = \int -\sin x(1/(\cosx)-(\cos x)/(1+\cos^2x)) dx = ln (|\cos x|) + 1/2 ln(1+cos^2 x)$
Grazie Quinzio per la risposta!
Tutto il discorso "precedente" sulle equazioni differenziali allora lo reputi corretto?
Anche io provavo a risolvere l'integrale suddividendolo, però non capisco come ottieni $-cosx/(1+cos^2x)$
Spero tu abbia voglia di rispondermi nuovamente
Tutto il discorso "precedente" sulle equazioni differenziali allora lo reputi corretto?
Anche io provavo a risolvere l'integrale suddividendolo, però non capisco come ottieni $-cosx/(1+cos^2x)$
Spero tu abbia voglia di rispondermi nuovamente
"Samy21":
Grazie Quinzio per la risposta!
Tutto il discorso "precedente" sulle equazioni differenziali allora lo reputi corretto?
Anche io provavo a risolvere l'integrale suddividendolo, però non capisco come ottieni $-cosx/(1+cos^2x)$
Spero tu abbia voglia di rispondermi nuovamente
La tua risoluzione mi sembra corretta.
Da dove viene $-cosx/(1+cos^2x)$.....
Se hai
$1/(\cos x+cos^3 x)$
lo scrivi come
$A/(\cos x)+B/(1+cos^2x) $
che diventa
$(A+Acos^2x+B cosx)/(\cos x+cos^3 x)$
A questo punto vuoi che
$(A+Acos^2x+B cosx) = 1$
prova a risolverla e ottieni l'espressione che ho scritto prima
Grazie per aver risposto!
Io avevo provato a risolvere così però non ottengo il tuo stesso risultato, sicuramente commetto qualche errore...
Ti mostro i passaggi che faccio
$Acos^2x + Bcosx + A =1$ è l'eq. di partenza. La scrivo come $cosx(Acosx + B)=1 - A$ ottenendo così
#1 $cosx = 1-A$ dalla quale ottengo $A = 1 - cosx$
#2 $Acosx+B = 1-A$ e, sostituendo il valore di $A$ ottenuto in #1, ottengo $B=cos^2x$
Sostituendo
$(1-cosx)/cosx + (cos^2x)/(1+cos^2x)$
Dove sbaglio?
Mi rincuora comunque sapere che il passaggio delle eq. differenziali è risolto in maniera corretta!
Buona giornata e grazie per la pazienza
"Quinzio":
A questo punto vuoi che
$(A+Acos^2x+B cosx) = 1$
prova a risolverla e ottieni l'espressione che ho scritto prima
Io avevo provato a risolvere così però non ottengo il tuo stesso risultato, sicuramente commetto qualche errore...
Ti mostro i passaggi che faccio
$Acos^2x + Bcosx + A =1$ è l'eq. di partenza. La scrivo come $cosx(Acosx + B)=1 - A$ ottenendo così
#1 $cosx = 1-A$ dalla quale ottengo $A = 1 - cosx$
#2 $Acosx+B = 1-A$ e, sostituendo il valore di $A$ ottenuto in #1, ottengo $B=cos^2x$
Sostituendo
$(1-cosx)/cosx + (cos^2x)/(1+cos^2x)$
Dove sbaglio?
Mi rincuora comunque sapere che il passaggio delle eq. differenziali è risolto in maniera corretta!
Buona giornata e grazie per la pazienza
il $cos x$ devi vederlo come una variabile, ad es. la semplice $x$.
$(Ax^2+Bx+C)/(x)+(Dx^2+Ex+F)/(1+x^2)$.
A B C D E F sono solo numeri reali, numeri semplici, senza nessuna $x$.
Il risultato deve venire $1/(x+x^3)$.
Qualche lettera A...F verrà zero. L'ho messa solo per carcare di farti capire la procedura completa.
Prova a trovare A B C D E F.
$(Ax^2+Bx+C)/(x)+(Dx^2+Ex+F)/(1+x^2)$.
A B C D E F sono solo numeri reali, numeri semplici, senza nessuna $x$.
Il risultato deve venire $1/(x+x^3)$.
Qualche lettera A...F verrà zero. L'ho messa solo per carcare di farti capire la procedura completa.
Prova a trovare A B C D E F.
Ri-grazie per aver risposto..
Facendo i calcoli giungo solo a quest conclusioni:
$A=0$, $C=1$, $E=-1$ e non riesco a trovare i valori di $B$, $D$ e $F$ ma so che $B=-F$ e $B=-D$ e quindi $F=D$....
Ti ringrazio per la pazienza davvero, ho un'enorme lacuna su questa cosa...
Facendo i calcoli giungo solo a quest conclusioni:
$A=0$, $C=1$, $E=-1$ e non riesco a trovare i valori di $B$, $D$ e $F$ ma so che $B=-F$ e $B=-D$ e quindi $F=D$....
Ti ringrazio per la pazienza davvero, ho un'enorme lacuna su questa cosa...
Guarda, metto tutti i passaggi, sono molto semplici e non hanno bisogno di grossi commenti.
$(Ax^2+Bx+C)/(x)+(Dx^2+Ex+F)/(1+x^2) = 1/(x+x^3)$
$[(Ax^2+Bx+C)(1+x^2)+(Dx^2+Ex+F)x]/(x+x^3) = 1/(x+x^3)$.
$(Ax^2+Bx+C)(1+x^2)+(Dx^2+Ex+F)x = 1$.
$(Ax^4+Bx^3+(A+C)x^2+Bx+C)+(Dx^3+Ex^2+Fx) = 1$
$Ax^4+(B+D)x^3+(A+C+E)x^2+(B+F)x+C = 1$
$Ax^4+(B+D)x^3+(A+C+E)x^2+(B+F)x+C-1 = 0$
A questo punto tutti i coefficienti dei monomi devono essere =0
cioè:
$(Ax^4=0) \Rightarrow (A=0)$
$(C-1=0) \Rightarrow (C=1)$
$((B+D)x^3=0) \Rightarrow (B=0, D=0)$. Per semplicità, siccome ho già visto che non mi serviranno.
$((B+F)x=0) \Rightarrow (B=0, F=0)$ Anche qui, sono tutti a zero per semplicità.
$((A+C+E)x^2=0) \Rightarrow (C=1, E= -1)$ A e C erano già assegnati.
Più di così, non saprei cosa fare...
$(Ax^2+Bx+C)/(x)+(Dx^2+Ex+F)/(1+x^2) = 1/(x+x^3)$
$[(Ax^2+Bx+C)(1+x^2)+(Dx^2+Ex+F)x]/(x+x^3) = 1/(x+x^3)$.
$(Ax^2+Bx+C)(1+x^2)+(Dx^2+Ex+F)x = 1$.
$(Ax^4+Bx^3+(A+C)x^2+Bx+C)+(Dx^3+Ex^2+Fx) = 1$
$Ax^4+(B+D)x^3+(A+C+E)x^2+(B+F)x+C = 1$
$Ax^4+(B+D)x^3+(A+C+E)x^2+(B+F)x+C-1 = 0$
A questo punto tutti i coefficienti dei monomi devono essere =0
cioè:
$(Ax^4=0) \Rightarrow (A=0)$
$(C-1=0) \Rightarrow (C=1)$
$((B+D)x^3=0) \Rightarrow (B=0, D=0)$. Per semplicità, siccome ho già visto che non mi serviranno.
$((B+F)x=0) \Rightarrow (B=0, F=0)$ Anche qui, sono tutti a zero per semplicità.
$((A+C+E)x^2=0) \Rightarrow (C=1, E= -1)$ A e C erano già assegnati.
Più di così, non saprei cosa fare...
Ahn bene, quindi mi ero "impantanata" nel dire che $B=D=F=0$.
Grazie per la spiegazione!
Grazie per la spiegazione!
Ho un altro esercizio sulle eq.differenziali da sottoporvi.. Volevo solo sapere se è corretto come l'ho risolto..
L'eq. in questione è questa $y''' - 2y'' + y' = e^(2x)$
Noto che manca il termine $y$ così effettuo un cambiamento ponendo $z=y'$ e l'eq. si riduce a $z'' - 2z' + z = e^(2x)$.
Calcolo la soluzione generale dell'eq. omogenea associata, cioè $z'' - 2z' + z =0$ scrivendo la sua eq. caratteristica $\lambda^2 - 2\lambda + 1=0$ e,come soluzioni ottengo $z_1=e^x$ e $z_2=xe^x$, cioè $z_(om)= c_1 e^x + c_2 xe^x$
Adesso cerco la soluzione particolare $\barz$ che dovrà essere della forma $\bar z =c_1 e^x + c_2 xe^x$.
Dopo aver supposto che $\bar z$ sia derivabile considerando $c_1$ e $c_2$ costanti, ottengo $\bar z' = c_1(x)e^x + c_2(x)(e^x + xe^x)$ che equivale a porre $c'_1 (x) e^x + c'_2(x) (xe^x)=0$.
Dopo derivo $\bar z'$ rispetto ad $x$ ottenendo $\bar z'' = c_1(x)e^x + c'_1(x)e^x + c_2(x)(2e^x + xe^x) + c'_2(x)(e^x+xe^x)$ e sostituendo i valori ottenuti nell'eq. di partenza (in $z$) ottengo, semplificando, $c'_1(x) e^x + c'_2(x)(e^x + xe^x)=e^2x$
Facendo adesso sistema
$\{(c'_1 (x) e^x + c'_2(x) (xe^x)=0),(c'_1(x) e^x + c'_2(x)(e^x + xe^x)=e^2x):}$
con il metodo di Cramer, calcolo $c'_1$ e $c'_2$ ottenendo rispettivamente $c'_1=-xe^x$ e $c'_2=e^x$ e integrando, ottengo $c_1 = e^x(1-x)$ e $c_2=e^x$ quindi la soluzione è $z=c_1e^x + c_2xe^x + e^(2x)$ ma, ricordando il cambiamento di variabile di partenza, ottengo $y'=c_1e^x + c_2xe^x + e^(2x)$ e, integrando, ottengo $y= c_1e^x + c_2xe^x - c_2e^x + 1/2 e^(2x) + c_3$.
Secondo voi è corretto?
L'eq. in questione è questa $y''' - 2y'' + y' = e^(2x)$
Noto che manca il termine $y$ così effettuo un cambiamento ponendo $z=y'$ e l'eq. si riduce a $z'' - 2z' + z = e^(2x)$.
Calcolo la soluzione generale dell'eq. omogenea associata, cioè $z'' - 2z' + z =0$ scrivendo la sua eq. caratteristica $\lambda^2 - 2\lambda + 1=0$ e,come soluzioni ottengo $z_1=e^x$ e $z_2=xe^x$, cioè $z_(om)= c_1 e^x + c_2 xe^x$
Adesso cerco la soluzione particolare $\barz$ che dovrà essere della forma $\bar z =c_1 e^x + c_2 xe^x$.
Dopo aver supposto che $\bar z$ sia derivabile considerando $c_1$ e $c_2$ costanti, ottengo $\bar z' = c_1(x)e^x + c_2(x)(e^x + xe^x)$ che equivale a porre $c'_1 (x) e^x + c'_2(x) (xe^x)=0$.
Dopo derivo $\bar z'$ rispetto ad $x$ ottenendo $\bar z'' = c_1(x)e^x + c'_1(x)e^x + c_2(x)(2e^x + xe^x) + c'_2(x)(e^x+xe^x)$ e sostituendo i valori ottenuti nell'eq. di partenza (in $z$) ottengo, semplificando, $c'_1(x) e^x + c'_2(x)(e^x + xe^x)=e^2x$
Facendo adesso sistema
$\{(c'_1 (x) e^x + c'_2(x) (xe^x)=0),(c'_1(x) e^x + c'_2(x)(e^x + xe^x)=e^2x):}$
con il metodo di Cramer, calcolo $c'_1$ e $c'_2$ ottenendo rispettivamente $c'_1=-xe^x$ e $c'_2=e^x$ e integrando, ottengo $c_1 = e^x(1-x)$ e $c_2=e^x$ quindi la soluzione è $z=c_1e^x + c_2xe^x + e^(2x)$ ma, ricordando il cambiamento di variabile di partenza, ottengo $y'=c_1e^x + c_2xe^x + e^(2x)$ e, integrando, ottengo $y= c_1e^x + c_2xe^x - c_2e^x + 1/2 e^(2x) + c_3$.
Secondo voi è corretto?
Direi che va bene, se proprio vuoi si può semplificare un po' il risultato, cioè:
$y= c_1e^x + c_2xe^x - c_2e^x + 1/2 e^(2x) + c_3$
$y = c_1e^x + c_2xe^x - 1/2 e^(2x) + c_3$
E' sparito $c_2e^x $ che può essere assorbito da $c_1e^x $.
Le costanti $c$ sono come scatoloni dove puoi buttare dentro un po' di tutto (a patto che il fattore fuori sia uguale).
$y= c_1e^x + c_2xe^x - c_2e^x + 1/2 e^(2x) + c_3$
$y = c_1e^x + c_2xe^x - 1/2 e^(2x) + c_3$
E' sparito $c_2e^x $ che può essere assorbito da $c_1e^x $.
Le costanti $c$ sono come scatoloni dove puoi buttare dentro un po' di tutto (a patto che il fattore fuori sia uguale).
"Quinzio":
E' sparito $c_2e^x $ che può essere assorbito da $c_1e^x $.
Le costanti $c$ sono come scatoloni dove puoi buttare dentro un po' di tutto (a patto che il fattore fuori sia uguale).
Non li vedevo così.. Grazie mille!! Mi hai dato una mano enorme e sei stato davvero molto gentile e disponibile!
A presto!
Salve a tutti..
Volevo chiedervi conferma circa la risoluzione di un esercizio...
L'eq è $y^(IV) - y''' - y'' + y'=x^2 + e^(2x)$
Prima di tutto mi calcolo la soluzione generale dell'eq omogenea associata considerando la sua equazione caratteristica.
Ottengo $y_(om)= c_1 + c_2e^-x + c_3e^x + c_4e^x$.
Per calcolarmi le soluzioni particolari, "separo" il termine noto ottenendo così 2 eq. differenziali, rispettivamente
#1 $y^(IV) - y''' - y'' + y'=x^2$
#2 $y^(IV) - y''' - y'' + y'=e^(2x)$
Per la #1 effettuo la sostituzione $z=y'$ e cerco una soluzione del tipo $z=ax^2 + bx +c$ e ottengo $z=x^2+2x+4$ e integrando ottengo, $x^3/3 + x^2 + 4x$.
Per la #2 cerco una soluzione del tipo $y=ae^(2x)$ e come risultato, dopo vari calcoli, ottengo $y=1/6e^(2x)$
Quindi la mia soluzione totale è $y=c_1 + c_2e^-x + c_3e^x + c_4e^x + x^3/3 + x^2 + 4x + 1/6e^(2x)$
Vi sembra corretto?
Grazie a tutti!
Volevo chiedervi conferma circa la risoluzione di un esercizio...
L'eq è $y^(IV) - y''' - y'' + y'=x^2 + e^(2x)$
Prima di tutto mi calcolo la soluzione generale dell'eq omogenea associata considerando la sua equazione caratteristica.
Ottengo $y_(om)= c_1 + c_2e^-x + c_3e^x + c_4e^x$.
Per calcolarmi le soluzioni particolari, "separo" il termine noto ottenendo così 2 eq. differenziali, rispettivamente
#1 $y^(IV) - y''' - y'' + y'=x^2$
#2 $y^(IV) - y''' - y'' + y'=e^(2x)$
Per la #1 effettuo la sostituzione $z=y'$ e cerco una soluzione del tipo $z=ax^2 + bx +c$ e ottengo $z=x^2+2x+4$ e integrando ottengo, $x^3/3 + x^2 + 4x$.
Per la #2 cerco una soluzione del tipo $y=ae^(2x)$ e come risultato, dopo vari calcoli, ottengo $y=1/6e^(2x)$
Quindi la mia soluzione totale è $y=c_1 + c_2e^-x + c_3e^x + c_4e^x + x^3/3 + x^2 + 4x + 1/6e^(2x)$
Vi sembra corretto?
Grazie a tutti!
Il polinomio caratteristico è questo:
$t^4-t^3-t^2+t=t[t^3-t^2+t-1]=t[t^2(t-1)-(t-1)]=t(t-1)(t^2-1)=t(t+1)(t-1)^2$
per cui la soluzione dell'omogenea è
$y_{om}(x)=c_1+c_2 e^{-x}+(c_3+c_4 x)e^x$
Le particolari mi sembrano giuste.
$t^4-t^3-t^2+t=t[t^3-t^2+t-1]=t[t^2(t-1)-(t-1)]=t(t-1)(t^2-1)=t(t+1)(t-1)^2$
per cui la soluzione dell'omogenea è
$y_{om}(x)=c_1+c_2 e^{-x}+(c_3+c_4 x)e^x$
Le particolari mi sembrano giuste.
Ops, avevo dimenticato una x ... Grazie mille, sempre gentilissimo!!
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