Esercizio eq differenziale

[maryenn1]

Chi può darmi una mano con questa equazione differenziale?
$y′ +y/x+ 3 y^(1/3) = 0$
Non saprei proprio da dove iniziare!

[Clorinda1]

"maryenn":Chi può darmi una mano con questa equazione differenziale?
$y′ +y/x+ 3 y^(1/3) = 0$
Non saprei proprio da dove iniziare!

Ciao!
Si tratta di una equazione differenziale di Bernouilli, in generale l'equazione di Bernoulli si scrive:
$y'+a(x)y+b(x)y^{\gamma}$, essendo $\gamma \in \RR$ e $a(x)$ e $b(x)$ funzioni.
Nel tuo caso, $a(x)=1/x$ e $\gamma = 1/3$.
Per quanto riguarda il calcolo della soluzione, le equazioni di Bernoulli possono essere riportate
ad equazioni lineari, mediante opportuni cambiamenti di variabile dipendente.
Puoi iniziare ponendo: $y^{1−\gamma(x)} = z(x)$...

[maryenn1]

Grazie,poi mi sono resa conto che fosse un' equazione di Bernoulli,il mio problema è che non so come procedere...cioè,non potendo confrontarmi con alcun risultato,non so se ho risolto bene l'esercizio oppure ho fatto qualche errore,anche concettuale...potresti darmi una mano?

[Clorinda1]

"maryenn":Grazie,poi mi sono resa conto che fosse un' equazione di Bernoulli,il mio problema è che non so come procedere...cioè,non potendo confrontarmi con alcun risultato,non so se ho risolto bene l'esercizio oppure ho fatto qualche errore,anche concettuale...potresti darmi una mano?

Allora, direi che dall'uguaglianza scritta prima discende che $(1-\gamma)y^{-\gamma}(x)y^{'}(x)=z'(x).$
Quindi
$\frac{z'(x)}{1-\gamma}+a(x)z(x)+b(x)=0$.
Ora prova tu a sostituire i valori corretti nell'equazione sopra e poi andiamo avanti!

[maryenn1]

Allora abbiamo:
$ 3/2z'+ z/x+3=0 $
Ora come bisogna proseguire,è giusto porre $ z/x=w$ ?

[Clorinda1]

"maryenn":Allora abbiamo:
$ 3/2z'+ z/x+3=0 $
Ora come bisogna proseguire,è giusto porre $ z/x=w$ ?

Mmmm...non direi.
Tu hai ottenuto una equazione lineare non omogenea di primo ordine.
In generale, essa si scrive $y'+p(x)y-q(x)=0.$
Noi abbiamo quindi che (dividendo tutto per 3/2) $p(x)=2/(3x)$ e $q(x)=-2$.
La soluzione è: $z(x)=e^{int(dx/x)}\cdot\int -2e^{int(dx/x)}dx= e^{log(x)}\int-2e^{log(x)}dx$