[ESERCIZIO] Dominio di invertibilità

[Magma1]

Individuare opportune restrizione di $f(x):=x^2-2abs(x):= { ( x^2-2x; x >=0 ),( x^2+2x; x<0 ):}$ che siano invertibili.

Specificare dominio e immagine delle inverse per le restrizioni trovate.

Io mi sono calcolato la derivata prima:

$f'(x)={ ( 2x-2; x >0 ),( 2x+2; x<0 ):}$

quindi deduco che:

$f'(x)>=0 hArr x>=1 rArr f$ crescente in $[1,+oo)$
$f'(x)<0 hArr x<-1 rArr f$ decrescente in $(-oo,-1]$

Quindi due restrizioni sono già palpabili, dopo aver calcolato $f(-1)=-1=f(1)$:

$[1, +oo) -> [-1,+oo)$ e $(-oo, -1] -> [-1, +oo)$.

Ora però mi manco altre due restrizioni $f_1:[-1,0]->[-1,0]$ e $f_2:[0,1]->[-1,0]$, ma non saprei come trovarle.
Cioè da cosa potrei dedurre che $f_1$ è proprio l'intervallo $[-1,0]$ e non $[-1,1]$?

[@melia]

Io credo che tu possa rispondere a tutte le tue domande tracciando semplicemente il grafico di $f(x)$, si tratta di due archi di parabola che ... parlano da soli.

[Magma1]

Ho incontrato vari esercizi che si risolvono facilmente graficando la funzione, ma l'impostazione del mio corso di analisi è differente: in genere studiamo funzioni di cui non conosciamo il grafico e usiamo i teoremi per ottenere informazioni al riguardo; quindi sono interessato più a una risoluzione analitica dell'esercizio e non grafica.

Dallo studio della derivata prima noto che $f$ decresce in $(-oo, -1]$ e cresce in $[1,+oo)$, ma per studiare cosa succede in $[-1,1]$ che teorema potrei usare? Non mi viene in mente niente al momento.

[Magma1]

Oggi ho chiesto una dritta al professore e mi ha consigliato di fare il calcolo del segno della derivata prima, però non è che io abbia capito proprio bene:

$ f'(x)={ ( 2x-2; x >0 ),( 2x+2; x<0 ):}= { ( x-1; x >0 ),( x+1; x<0 ):}$

Ho che la $f'(x)$ si annulla in $1$, per $x>0$, e in $-1$ per $x<-1$; per il teorema di Fermat posso dire che i $1, -1$ sono punti di estremo relativo ed inoltre, essendo $f''(x)>0 AA x in mathbb(R)$, essi sono di minimo assoluto e poi....?

Come faccio a dire che in $[-1,0]$ $f(x)$ è crescente mentre in $[0,1]$ decresce?

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EDIT: Eureka!

Ho fatto male il calcolo del segno della derivata prima (mi sono fatto influenzare dalle condizione imposte dal modulo):

$ f'(x)= { ( x-1; x >0 ),( x+1; x<0 ):}$

$AA x>0$,
$f'(x)>0 hArr x>1 -> f $ cresce in $[1, +oo)$
$f'(x)<0 hArr x<1 -> f$ decresce in $[0,1]$

$AA x<0$,
$f'(x)>0 hArr x> -1 -> f $ cresce in $[-1,0]$
$f'(x)<0 hArr x< -1 -> f$ decresce in $(-oo, -1]$

Pertanto la funzione è iniettiva in ciascuna di queste restrizione ed è quindi invertibile in ognuna di esse.