Esercizio: Discutere L'integrabilità in senso improprio
Salve a tutti, sto affrontando un tipo di esercizi sugli integrali che non riesco a capire molto bene. Anticipo dicendo che a me sembra di aver studiato la teoria però non capisco questo genere di esercizi.
Come detto nel titolo l'intestazione è:
Discutere l'integrabilità in senso improprio dei seuenti integrali:
e ci sono una serie di integrali. Ora ve ne presento uno cosi che possiate aiutarmi
$\int_{1}^{+\infty}{log(x+1)}/{x^3+2x+1}dx$
ora come vi ho già detto a me sembra di averla studiata la teoria, ma anche ricontrollando sul libro non so come comportarmi. O meglio, io ho la soluzione e in poche parole il libro risolve il limite della funzione per $x\rightarrow+\infty$ e ottiene il seguente risultato: ${log(x)}/{x^3}$ dicendo anche "quindi $\int_{1}^{+\infty}f(x)$ è convergente."
Ora le mie domande sono le seguenti:
1° perchè fa il limite e da cosa deduce che è convergente?
2° al di fuori dell'esercizio come si dovrebbe svolgere questo esercizio? cioè io mi ritrovo ad un certo punto $\int1/2{lnx}/{x+1}$ e non so come procedere
Come detto nel titolo l'intestazione è:
Discutere l'integrabilità in senso improprio dei seuenti integrali:
e ci sono una serie di integrali. Ora ve ne presento uno cosi che possiate aiutarmi
$\int_{1}^{+\infty}{log(x+1)}/{x^3+2x+1}dx$
ora come vi ho già detto a me sembra di averla studiata la teoria, ma anche ricontrollando sul libro non so come comportarmi. O meglio, io ho la soluzione e in poche parole il libro risolve il limite della funzione per $x\rightarrow+\infty$ e ottiene il seguente risultato: ${log(x)}/{x^3}$ dicendo anche "quindi $\int_{1}^{+\infty}f(x)$ è convergente."
Ora le mie domande sono le seguenti:
1° perchè fa il limite e da cosa deduce che è convergente?
2° al di fuori dell'esercizio come si dovrebbe svolgere questo esercizio? cioè io mi ritrovo ad un certo punto $\int1/2{lnx}/{x+1}$ e non so come procedere
Risposte
"Domodossola":
il libro risolve il limite della funzione per $x\rightarrow+\infty$ e ottiene il seguente risultato: ${log(x)}/{x^3}$ dicendo anche "quindi $\int_{1}^{+\infty}f(x)$ è convergente."
Non risolve il limite, ma piuttosto fa un discorso asintotico: $log(1 + x) sim log(x)$ e $x^3 + 2x + 1 \sim x^3$ per $x -> +oo$. La convergenza dell'integrale improprio $\int_1^(+oo) {log(x)}/{x^3} dx$ è garantita dal fatto che il modo di schiacciarsi a zero all'infinito di $1/x^3$ non cambia poi molto se moltiplichi $1/x^3$ per un infinito blando quanto il logaritmo.
ok e allora qui fa $\int_{1}^{+\infty} {log(2+x^2)}/{\sqrt{x}arctg(x^2)}$ dice che è $= {2logx}/{{\pi}/2\sqrt{x}}$ ed è non convergente, ma per x tendente ad infinito la funzione ${2logx}/{{\pi}/2\sqrt{x}}$ non va a zero? O sto facendo una gaff?
La funzione è infinitesima per $x -> +oo$, questo sì, ma dovresti sapere che $\int_1^(+oo) 1/sqrt(x) dx = +oo$. Sostanzialmente $(log(x))/sqrt(x)$ ha un ordine di infinitesimo inferiore rispetto a $1/sqrt(x)$ (il logaritmo peggiora la situazione) e l'integrale è divergente a fortiori.
No veramente non lo sapevo, non ho trovato una buona teoria sugli integrali indefiniti effettivamente. Potresti rispiegarmi un attimo questa cosa seneca che non l'ho capita poi tanto bene? grazie..
perdonami
perdonami
Non basta che la funzione integranda vada a zero per $x rarr +oo$ , bisogna anche che ci vada "energicamente " cioè con più forza che non $1/x$ ma come $1/x^alpha$ con $alpha > 1 $.
a si forse c'era una piccola parte dove c'era scritta questa cosa, anche se non l'avevo capita molto..ma non doveva essere $\alpha<1$?? sicuro che sia $\alpha>1$??
Se hai $int_(1)^(+oo)( dx/(x^alpha))$ è integrabile se $alpha > 1 $ ; se invece è $ int_(0)^(1)dx/(x^(alpha))$ allora è integrabile se $alpha < 1 $.
ok grazie mille per la risposta..verificherò che anche sul libro presenti questa differenza..grazie ancora
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