Esercizio dimostrativo
A breve ho l'esame di analisi 1 e c'è un esercizio che non riesco a svolgere completamente, riguardante i compiti precedenti.
Siano $f,g$ due funzioni continue su $RR$ dimostrare che l'insieme delle soluzioni
È un sottoinsieme chiuso di $RR$.
Ho preso $h(x)=f(x)-3g(x)+8x$ e considero l'insieme
Però non mi viene proprio nulla in mente. Potete darmi un input?
Io ho provato considerando per assurdo che $S$ sia aperto e che quindi $C_(RR)(S)$ sia un chiuso.
Però vago sempre nell'ombra.
Siano $f,g$ due funzioni continue su $RR$ dimostrare che l'insieme delle soluzioni
$f(x)=3g(x)-8x$
È un sottoinsieme chiuso di $RR$.
Ho preso $h(x)=f(x)-3g(x)+8x$ e considero l'insieme
$S={x inRR:h(x)=0}$
Però non mi viene proprio nulla in mente. Potete darmi un input?
Io ho provato considerando per assurdo che $S$ sia aperto e che quindi $C_(RR)(S)$ sia un chiuso.
Però vago sempre nell'ombra.
Risposte
Questo è un esercizio "ovvio" se uno ha già fatto topologia.
Se così non è, come immagino, tieni presente che l'insieme complementare, cioè quello in cui la "tua" h è diversa da 0, è un insieme aperto grazie al teorema di permanenza del segno. Altro approccio, prendi una successione di punti che sta in S e supponi che converga. Il suo limite sta ancora in S (ovvero, h continua ad essere uguale a 0) per la continuità di h
Se così non è, come immagino, tieni presente che l'insieme complementare, cioè quello in cui la "tua" h è diversa da 0, è un insieme aperto grazie al teorema di permanenza del segno. Altro approccio, prendi una successione di punti che sta in S e supponi che converga. Il suo limite sta ancora in S (ovvero, h continua ad essere uguale a 0) per la continuità di h
Grazie fioravante
Si di topologia abbiamo fatto poco, giusto qualcosa di basilare.
La facciamo al secondo o al terzo anno topologia.
Comunque ora ci ragiono un po' su.
La permanenza del segno per insiemi aperti?
Si di topologia abbiamo fatto poco, giusto qualcosa di basilare.
La facciamo al secondo o al terzo anno topologia.
Comunque ora ci ragiono un po' su.
La permanenza del segno per insiemi aperti?
"anto_zoolander":
Si di topologia abbiamo fatto poco, giusto qualcosa di basilare.
La facciamo al secondo o al terzo anno topologia.
Ti chiedevo di topologia perché una funzione (tra spazi topologici) è continua se e solo se le conmtroimmagini di aperti sono aperti o, equivalentemente, se le controimmagini dei chiusi sono chiusi.
Dato che h è continua e che il sigleton contenente solo 0 è un chiuso, l'esercizio diventa ultrabanale.
"anto_zoolander":
La permanenza del segno per insiemi aperti?
Non capisco cosa vuoi dire. Il teorema di permanenza del segno è il solito teorema che viene dimostrato quando si comincia a fare analisi e limiti. Ce ne varie versioni, per le successioni, per i limiti, per le funzioni continue, ma l'idea dietro è sempre la stessa.
Mi spieghi cosa vuol dire "la permanenza del segno per insiemi aperti?" Che senso ha questa frase? Ormai il liceo l'hai finito, devi stare attento a quello che scrivi.
C'è invece un importantissimo legame tra teorema di permanenza del segno ed insiemi aperti.
Che è ancora più importante per me personalmente, perché me lo sono scoperto da solo, visto che nessuno dei miei prof si era preso la briga di farlo notare a lezione.
Come mai la definizione topologica di funzione continua è che le controimmagini di aperti sono aperti? Da dove arriva una simile idea esotica? Banale, dal teorema di permanenza del segno. E' da qui che viene la ispirazione per la definizione topologica standard di continuità.
Si scusami, sono preso un po' dallo stress e mi esprimo male(è il mio primo esame)
Non riesco a collegare come il teorema di permanenza del segno, possa darmi effettivamente informazioni sul mio insieme.
Espongo il mio pensiero, così potrei mostrerò dove sono le lacune.
Io ho preso $S={x inRR:h(x)=0}$ e $T=C_(RR)(S)={x inRR:h(x)ne0}$
Ora voglio dimostrare che $T$ sia aperto.
Comunque preso $x_0 inT$ so che $h(x_0)ne0$ dunque per la continuità di $h$
$lim_(x->x_0)h(x)=h(x_0)$
Ora può essere $h(x_0)>0$ o $h(x_0)<0$.
Dunque per ogni $x_0 inT$ esiste un intorno $U_(x_0)$ nel quale $sgn{h(x_0)}h(x)>0$ per ogni $x inU_(x_0)capT$
Da qui non vorrei dire assurdità, quindi mi fermo, perché non saprei come procedere.
Non riesco a collegare come il teorema di permanenza del segno, possa darmi effettivamente informazioni sul mio insieme.
Espongo il mio pensiero, così potrei mostrerò dove sono le lacune.
Io ho preso $S={x inRR:h(x)=0}$ e $T=C_(RR)(S)={x inRR:h(x)ne0}$
Ora voglio dimostrare che $T$ sia aperto.
Comunque preso $x_0 inT$ so che $h(x_0)ne0$ dunque per la continuità di $h$
$lim_(x->x_0)h(x)=h(x_0)$
Ora può essere $h(x_0)>0$ o $h(x_0)<0$.
Dunque per ogni $x_0 inT$ esiste un intorno $U_(x_0)$ nel quale $sgn{h(x_0)}h(x)>0$ per ogni $x inU_(x_0)capT$
Da qui non vorrei dire assurdità, quindi mi fermo, perché non saprei come procedere.
Non ti resta tanto cammino da fare, direi.
Hai preso $x_0$ in $T$. Hai trovato che c'è un intorno di $x_0$ in cui la $h$ è diversa da $0$, ergo questo intorno è contenuto in $T$.
Visto che $x_0$ era arbitrario, hai finito. Hai dimostrato che per ogni punto di $T$ c'è un suo intorno tutto contenuto in $T$. Pertanto $T$ è aperto.
Hai preso $x_0$ in $T$. Hai trovato che c'è un intorno di $x_0$ in cui la $h$ è diversa da $0$, ergo questo intorno è contenuto in $T$.
Visto che $x_0$ era arbitrario, hai finito. Hai dimostrato che per ogni punto di $T$ c'è un suo intorno tutto contenuto in $T$. Pertanto $T$ è aperto.
Grazie mille!
Avevo dimenticato che un insieme si potesse dire aperto se ogni suo punto è di aderenza!
Avevo dimenticato che un insieme si potesse dire aperto se ogni suo punto è di aderenza!
"anto_zoolander":
Avevo dimenticato che un insieme si potesse dire aperto se ogni suo punto è di aderenza!
Prendiamo $\{ 7 \}$. Ogni suo punto è di aderenza (il suo unico punto è isolato, quindi di aderenza). Ma non mi sembra tanto aperto
Scusi volevo dire interno, giuro! Sto solo dando un po' i numeri 
Ci credo che volessi dire interno 
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