Esercizio difficile su massimi e minimi in due variabili
Salve ragazzi, il mio professore di analisi ci ha sottoposto questo esercizio all'esame:
Studiare i punti critici della funzione $ f:RR^2->RR $ data ta $ f(x,y)=e^((x^2-4y^2-1)^7) $.
Si dica se l'insieme di livello $ {(x,y)inRR^2|f(x,y)=1/e } $ è parametrizzabile da una curva
regolare e, se possibile, si scriva l'equazione della retta tangente nel punto $ (2,1) $ .
Ho molta difficoltà a svolgerlo, perchè credo che il metodo dell'Hessiano non vada usato, ma non riesco a trovare una alternativa. Vi dico come ho iniziato a svolgerlo:
prima di tutto ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x e a y:
$ (deltaf)/(deltax)(x,y)= 7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(2x) $
$ (deltaf)/(deltay)(x,y)= 7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(-8y) $
Per trovare i punti critici devo risolvere il sistema:
$ { (7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(2x)=0 ),( 7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(-8y)=0):} $
Una soluzione del sistema è sicuramente $ (0,0) $, ma un'altra soluzione sono i punti ${(x,y)inRR^2|x^2-4y^2=1}$
Ora, carlcolare la matrice delle derivate seconde mi spaventa data la mole dei calcoli... come potrei fare?
Studiare i punti critici della funzione $ f:RR^2->RR $ data ta $ f(x,y)=e^((x^2-4y^2-1)^7) $.
Si dica se l'insieme di livello $ {(x,y)inRR^2|f(x,y)=1/e } $ è parametrizzabile da una curva
regolare e, se possibile, si scriva l'equazione della retta tangente nel punto $ (2,1) $ .
Ho molta difficoltà a svolgerlo, perchè credo che il metodo dell'Hessiano non vada usato, ma non riesco a trovare una alternativa. Vi dico come ho iniziato a svolgerlo:
prima di tutto ho calcolato le derivate parziali rispetto ad x e a y:
$ (deltaf)/(deltax)(x,y)= 7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(2x) $
$ (deltaf)/(deltay)(x,y)= 7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(-8y) $
Per trovare i punti critici devo risolvere il sistema:
$ { (7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(2x)=0 ),( 7e^((x^2-4y^2-1)^7)(x^2-4y^2-1)^6(-8y)=0):} $
Una soluzione del sistema è sicuramente $ (0,0) $, ma un'altra soluzione sono i punti ${(x,y)inRR^2|x^2-4y^2=1}$
Ora, carlcolare la matrice delle derivate seconde mi spaventa data la mole dei calcoli... come potrei fare?
Risposte
Scusami ma non comprendo questa parte:
Perchè vengono fuori coseno e seno iperbolici? Tra l'altro il mio corso ha solo accennato alle funzioni iperboliche...
"TeM":
i propri punti critici sono dati da \[ \nabla f(x,\,y) = (0,\,0) \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; (x,\,y) = (0,\,0) \; \vee \; (x,\,y) = \left(\pm \cosh t, \; \frac{1}{2}\,\sinh t\right)\,, \; \forall\,t \in \mathbb{R} \; . \]
Perchè vengono fuori coseno e seno iperbolici? Tra l'altro il mio corso ha solo accennato alle funzioni iperboliche...
Tu hai una funzione del tipo \(\displaystyle f(x,y) = e^{g(x,y)} \). È evidente che, a meno di avere \(\displaystyle g(x,y)\to -\infty \), \(\displaystyle f(x,y) > 0 \) per ogni \(\displaystyle x,y\in \mathbb{R}^2 \). Siccome
Hai inoltre che \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = f(x,y)g(x,y)\frac{\partial g}{\partial x} \) e similmente \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = f(x,y)g(x,y)\frac{\partial g}{\partial y} \).
Siccome stai ponento \(\displaystyle 0 = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \) devi sostanzialmente porre \(\displaystyle 0 = g(x,y)\frac{\partial g}{\partial x} = g(x,y)\frac{\partial g}{\partial y} \) le cui soluzioni solo le coppie \(\displaystyle (x,y) \in\mathbb{R}^2\) per cui \(\displaystyle 0 = \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} \) oppure \(\displaystyle g(x,y) = 0 \).
Hai inoltre che \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = f(x,y)g(x,y)\frac{\partial g}{\partial x} \) e similmente \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = f(x,y)g(x,y)\frac{\partial g}{\partial y} \).
Siccome stai ponento \(\displaystyle 0 = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \) devi sostanzialmente porre \(\displaystyle 0 = g(x,y)\frac{\partial g}{\partial x} = g(x,y)\frac{\partial g}{\partial y} \) le cui soluzioni solo le coppie \(\displaystyle (x,y) \in\mathbb{R}^2\) per cui \(\displaystyle 0 = \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} \) oppure \(\displaystyle g(x,y) = 0 \).
fin qui c'ero, ma non capisco perchè le soluzioni di $ g(x,y)=0 $ sono $ (x,y)=(+-cosht,1/2sinht) ,tinRR $
\(x^2 - 4x^2 -1=0\) è una iperbole, seno e coseno iperbolico sono gli equivalenti per l'iperbole del seno e coseno.
"Michele Di Guida":
fin qui c'ero, ma non capisco perchè le soluzioni di $ g(x,y)=0 $ sono $ (x,y)=(+-cosht,1/2sinht) ,tinRR $
Ciao,
le funzioni seno e coseno iperbolico parametrizzano l'iperbole così come le funzioni goniometriche seno e coseno parametrizzano la circonferenza goniometrica.
L'utente TeM ti ha fornito una rappresentazione parametrica dei punti critici che stanno sull'iperbole (individuata anche da te)...
Per semplificarti un po' la vita potresti osservare che la tua funzione $f$ è composta di $p(x,y):=x^2-4y^2-1$ e della funzione strettamente crescente $h(t):=e^{t^7}$... Cosa sai dire di $\nabla (h\circ p)$...?
MODIFICATO: ti stava già rispondendo vict85...
Forse scrivo cose già dette e conosciute, comunque :
per le funzioni trigonometriche vale la relazione fondamentale $ sen^2x+cos^2 x=1 $ che per le funzioni iperboliche diventa $cosh^2x -senh^2 x=1 $.
per le funzioni trigonometriche vale la relazione fondamentale $ sen^2x+cos^2 x=1 $ che per le funzioni iperboliche diventa $cosh^2x -senh^2 x=1 $.
Ok ci sono... Mi destabilizzava il coseno iperbolico e anche il metodo del segno che conoscevo poco...
Per quanto riguarda la seconda parte ho pensato di applicare il teorema del Dini:
$ f(x,y)=1/e => G(x,y)=e^((x^2-4y^2 -1)^7) - 1/e $
Noto che la funzione G e' continua e derivabile in tutto $ RR^2 $ e che
$ G(2,1)=0; (deltaG)/(deltay) (2,1)=-56/e!=0 $
Sono nelle condizioni di poter applicare il teorema del dini, per cui
$ EE $ un intorno $ I $ di $ RR^2 $ tale che $ y=f(x), AAx,yinI $
e inoltre $ f'(x)=-(G_x(2,1))/(G_y(2,1)) $
$ G_x(2,1)=28/e $
$ f'(x)=(28/e)(e/56)=1/2 $
$ y(x)=f'(x)(x-x_0)+y_0 => y(x)=1/2x $
Non so come procedere per la curva... per la regolarità di una curva ho bisogno che la derivata prima della curva gamma non presenti in alcun punto entrambe le componenti nulle, ma non riesco a capire come posso parametrizzare l'insieme di livello....
Per quanto riguarda la seconda parte ho pensato di applicare il teorema del Dini:
$ f(x,y)=1/e => G(x,y)=e^((x^2-4y^2 -1)^7) - 1/e $
Noto che la funzione G e' continua e derivabile in tutto $ RR^2 $ e che
$ G(2,1)=0; (deltaG)/(deltay) (2,1)=-56/e!=0 $
Sono nelle condizioni di poter applicare il teorema del dini, per cui
$ EE $ un intorno $ I $ di $ RR^2 $ tale che $ y=f(x), AAx,yinI $
e inoltre $ f'(x)=-(G_x(2,1))/(G_y(2,1)) $
$ G_x(2,1)=28/e $
$ f'(x)=(28/e)(e/56)=1/2 $
$ y(x)=f'(x)(x-x_0)+y_0 => y(x)=1/2x $
Non so come procedere per la curva... per la regolarità di una curva ho bisogno che la derivata prima della curva gamma non presenti in alcun punto entrambe le componenti nulle, ma non riesco a capire come posso parametrizzare l'insieme di livello....
Grazie mille, siete stati fin troppo chiari! 
Salve ragazzi... Mi hanno detto che al ricevimento il nostro professore ha risolto questo esercizio ponendo il polinomio uguale a t e poi considerando la funzione composta, da quello che ho capito risulta molto più veloce e semplice risolvere l'esercizio in questo modo... Io ci ho provato ma non riesco a pervenire ad una soluzione... non e' che qualcuno potrebbe farmi vedere come si svolge?
"Michele Di Guida":
Salve ragazzi... Mi hanno detto che al ricevimento il nostro professore ha risolto questo esercizio ponendo il polinomio uguale a t e poi considerando la funzione composta, da quello che ho capito risulta molto più veloce e semplice risolvere l'esercizio in questo modo... Io ci ho provato ma non riesco a pervenire ad una soluzione... non e' che qualcuno potrebbe farmi vedere come si svolge?
Ti avevo accennato l'idea in un messaggio precedente...lo hai visto? Ti torna?
Ho pensato di procedere in questo modo:
$ f(t)=e^(t^7) $
la funzione e' sempre positiva ed ha un minimo relativo in $ (0,1) $
dopodiché considero $ p(x,y)=x^2-4y^2-1 $
e ne vado a fare le derivate:
$ p_x=2x $
$ p_y=-8y $
ponendo uguale a 0 ottengo come unica soluzione del sistema il punto $ (0,0) $
se vado a fare la matrice delle derivate seconde ottengo che $ (0,0) $ e' un punto di sella;
ma t=0 significa anche che $ x^2-4y^2=1 $
come faccio a dimostrare che sono sella anche questi?
$ f(t)=e^(t^7) $
la funzione e' sempre positiva ed ha un minimo relativo in $ (0,1) $
dopodiché considero $ p(x,y)=x^2-4y^2-1 $
e ne vado a fare le derivate:
$ p_x=2x $
$ p_y=-8y $
ponendo uguale a 0 ottengo come unica soluzione del sistema il punto $ (0,0) $
se vado a fare la matrice delle derivate seconde ottengo che $ (0,0) $ e' un punto di sella;
ma t=0 significa anche che $ x^2-4y^2=1 $
come faccio a dimostrare che sono sella anche questi?
"Michele Di Guida":
Ho pensato di procedere in questo modo:
$ f(t)=e^(t^7) $
la funzione e' sempre positiva ed ha un minimo relativo in $ (0,1) $
No, la tua $f(t)=e^(t^7)$ ha inf (non minimo) $0$ ed è strettamente crescente, ed è quest'ultima parte che è utile, perché fa sì che i punti di estremo relativo di $f\circ p$ coincidano (con la stessa natura) con quelli di $p$ (eccetto quelli che vengono da $t=0$, unico zero della derivata di $f$, punto di flesso a tangente orizzontale per $f$...) ; inoltre $f$ è differenziabile con derivata $f^\prime (t)=7t^6e^{t^7}$ (non negativa, nulla solo per $t=0$), quindi
$$
(0,0)=\nabla (f\circ p)(x,y)=f^\prime(p(x,y))\nabla p (x,y)\iff p(x,y)=0 \lor \nabla p (x,y)=0
$$
$$
\iff x^2-4y^2=1 \lor (x,y)=(0,0)
$$
"Michele Di Guida":
dopodiché considero $ p(x,y)=x^2-4y^2-1 $
e ne vado a fare le derivate:
$ p_x=2x $
$ p_y=-8y $
ponendo uguale a 0 ottengo come unica soluzione del sistema il punto $ (0,0) $
se vado a fare la matrice delle derivate seconde ottengo che $ (0,0) $ e' un punto di sella;
ma t=0 significa anche che $ x^2-4y^2=1 $
come faccio a dimostrare che sono sella anche questi?
Per capire la natura dei punti con $ x^2-4y^2=1 $, se vuoi evitare calcoli, forse conviene INVECE decomporre la funzione
$(x,y)\to e^{(x^2-4y^2-1)^7}$ come $g\circ h$ dove $g(t)=e^t$ (strettamente crescente con derivata mai nulla) e $h(x,y)=(x^2-4y^2-1)^7(=p(x,y)^7)$, così (decomponendo come sopra il gradiente) vedi che i punti critici di $e^{(x^2-4y^2-1)^7}$ sono quelli di $(x^2-4y^2-1)^7$ (e vengono i punti dell'iperbole, più l'origine...) e con la stessa natura...la natura dei punti $(u,v)$ con $u^2-4v^2=1$ per $h$ (e quindi per $e^{(x^2-4y^2-1)^7}$) si stabilisce valutando il segno di
$
h(x,y)-h(u,v)=(x^2-4y^2-1)^7-0=(x^2-4y^2-1)^7
$
negli intorni del punto $(u,v)$; ma il segno di $(x^2-4y^2-1)^7$ coincide con quello di $x^2-4y^2-1$...quindi...tutti i detti $(u,v)$ sono punti di sella (fatti un disegno...)
non riesco a capire perchè l'insieme di livello non è parametrizzabile da una curva regolare .. dalle definizioni di curva regolare :
La condizione di regolarità consiste in due proprietà:
1) la funzione \gamma(t):I\to\mathbb{R}^n che descrive il supporto della curva deve essere di classe C^1(I), cioè deve avere componenti derivabili con continuità su I;
2) la derivata prima \gamma'(t) non deve avere in alcun punto t\in I entrambe le componenti nulle. Un modo per esprimere algebricamente tale proprietà consiste ad esempio nel richiedere che ||\gamma'(t)||^2\neq 0 per ogni t\in I.
a me risulta parametrizzabile ma ovviamente mi sbaglio quindi mi chiedo qual è l'errore
La condizione di regolarità consiste in due proprietà:
1) la funzione \gamma(t):I\to\mathbb{R}^n che descrive il supporto della curva deve essere di classe C^1(I), cioè deve avere componenti derivabili con continuità su I;
2) la derivata prima \gamma'(t) non deve avere in alcun punto t\in I entrambe le componenti nulle. Un modo per esprimere algebricamente tale proprietà consiste ad esempio nel richiedere che ||\gamma'(t)||^2\neq 0 per ogni t\in I.
a me risulta parametrizzabile ma ovviamente mi sbaglio quindi mi chiedo qual è l'errore
Ciao Tem grazie per la risposta 
Allora la funzione $ y=x/2 $ oppure $ y=-x/2 $ penso che sia di classe C1 perchè posso fare la derivata prima e questa cioe y=1/2 oppure y=-1/2 sono continue .
Poi richiede che la derivata prima non si annulli in alcun punto . Dato che non compare la x ma ho y=1/2 mi viene un valore costante e quindi direi che non si annulla mai per cui direi che è parametrizzabile . Ovviamente mi sbaglio per cui vorrei ricevere un aiuto e capire dove sbaglio
Allora la funzione $ y=x/2 $ oppure $ y=-x/2 $ penso che sia di classe C1 perchè posso fare la derivata prima e questa cioe y=1/2 oppure y=-1/2 sono continue .
Poi richiede che la derivata prima non si annulli in alcun punto . Dato che non compare la x ma ho y=1/2 mi viene un valore costante e quindi direi che non si annulla mai per cui direi che è parametrizzabile . Ovviamente mi sbaglio per cui vorrei ricevere un aiuto e capire dove sbaglio
Tem grazie ancora
ho rappresentato le due rette e mi vengono due rette incidenti nel punto 0. La retta di equazione $ y=x/2 $ è crescente e l'altra decrescente . Volgarmente una funzione è continua quando per rappresentarla non alzi mai la mano dal foglio e quindi nella rappresentazione della funzione di $ y = x/2 $ oppure della funzione $ y = -x/2 $ mi trovo con la definizione . Per cui mi chiedo cosa sbaglio .. forse devo considerare entrambe le funzioni insieme ?
ho rappresentato le due rette e mi vengono due rette incidenti nel punto 0. La retta di equazione $ y=x/2 $ è crescente e l'altra decrescente . Volgarmente una funzione è continua quando per rappresentarla non alzi mai la mano dal foglio e quindi nella rappresentazione della funzione di $ y = x/2 $ oppure della funzione $ y = -x/2 $ mi trovo con la definizione . Per cui mi chiedo cosa sbaglio .. forse devo considerare entrambe le funzioni insieme ?
tutto chiaro sei stato gentilissimo grazie ancora tem
sei stato gentilissimo grazie ancora tem
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