Esercizio differenzialità di una funzione
Ciao ragazzi, vi propongo un esercizio di analisi 2 e la mia risoluzione.
Data la funzione:
$g(x,y)=root(3)(x^2(y-1))+1$
Dire se $g(x,y)$ è differenziabile in $(0,1)$ e calcolare $D_v g$ per ogni direzione $v \in R^2$.
Secondo me la funzione non è differenziabile nel punto perché calcolando le derivate parziali si nota che esse non esistono nel punto indicato. Pertanto non è differenziabile in quel punto. Per quanto riguarda le derivate direzionali notiamo che anch'esse non esistono in quel punto, pertanto nemmeno loro esistono.
E' corretto il mio ragionamento ?
Data la funzione:
$g(x,y)=root(3)(x^2(y-1))+1$
Dire se $g(x,y)$ è differenziabile in $(0,1)$ e calcolare $D_v g$ per ogni direzione $v \in R^2$.
Secondo me la funzione non è differenziabile nel punto perché calcolando le derivate parziali si nota che esse non esistono nel punto indicato. Pertanto non è differenziabile in quel punto. Per quanto riguarda le derivate direzionali notiamo che anch'esse non esistono in quel punto, pertanto nemmeno loro esistono.
E' corretto il mio ragionamento ?
Risposte
Se le derivate parziali esistono e sono continue allora è differenziabile, dato che non è così allora è sufficente quello che hai detto tu.
Perfetto .. ovviamente se non è differenziabile non possiamo dire che non esistono le derivate direzionali .. tuttavia in questo caso sì perchè da verifica diretta esse non esistono
"pietrodig":
Secondo me la funzione non è differenziabile nel punto perché calcolando le derivate parziali si nota che esse non esistono nel punto indicato.
Sarà la tarda ora, ma a me pare che $g_x(0,1)=g_y(0,1)=0$.
Ecco le derivate parziali:
$(delg)/(delx)(x,y) = (2x(y-1))/(3root(3)((x^2(y-1))^2))$
$(delg)/(dely)(x,y) = (x^2)/(3root(3)((x^2(y-1))^2))$
Nel punto $(0,1)$ risulta addirittura $0/0$ pertanto non credo che esistano, a meno che non abbia commesso errori.
$(delg)/(delx)(x,y) = (2x(y-1))/(3root(3)((x^2(y-1))^2))$
$(delg)/(dely)(x,y) = (x^2)/(3root(3)((x^2(y-1))^2))$
Nel punto $(0,1)$ risulta addirittura $0/0$ pertanto non credo che esistano, a meno che non abbia commesso errori.
Le derivate in tali punti si calcolano con la definizione!!!!
[tex]$\frac{\partial g}{\partial x}(0,1)=\lim_{h\to 0}\frac{g(h,1)-g(0,1)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{h^2\cdot 0}+1-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0$[/tex]
e analogamente l'altra. Tra l'altro, hai provato a calcolare il limite delle derivate parziali che hai trovato per $(x,y)\to (0,1)$? Scoprirai che tali limiti valgono zero!
[tex]$\frac{\partial g}{\partial x}(0,1)=\lim_{h\to 0}\frac{g(h,1)-g(0,1)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{h^2\cdot 0}+1-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0$[/tex]
e analogamente l'altra. Tra l'altro, hai provato a calcolare il limite delle derivate parziali che hai trovato per $(x,y)\to (0,1)$? Scoprirai che tali limiti valgono zero!
Hai ragione, io credevo che si potevano calcolare direttamente senza usare i limiti.
Quindi tenendo presente che le derivate parziali valgono 0 nel punto possiamo passare a calcolare il limite:
$lim_((h,k)->(0,0))(root(3)(h^2k))/(sqrt(h^2+k^2))$
Tale limite non solo è diverso da zero ma addirittura non esiste, usando il metodo delle rette per l'origine. Quindi la funzione non è comunque differenziabile, ma non per il motivo che ho mostrato all'inizio.
Quindi tenendo presente che le derivate parziali valgono 0 nel punto possiamo passare a calcolare il limite:
$lim_((h,k)->(0,0))(root(3)(h^2k))/(sqrt(h^2+k^2))$
Tale limite non solo è diverso da zero ma addirittura non esiste, usando il metodo delle rette per l'origine. Quindi la funzione non è comunque differenziabile, ma non per il motivo che ho mostrato all'inizio.
Sì, ora mi pare giusto come ragionamento.
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