Esercizio differenziabilità: problema maggiorazioni
Salve ho un problema con questo esercizio soprattutto nel calcolo del limite della differenziabilità l'esercizio è questo:
Nel caso sia differenziabile in (0,0), determinare il differenziale della seguente funzione
$ f(x,y)= x(1+sqrt(|seny|)) $
Verifico la continuità:
$ lim_((x,y) -> (0,0))x(1+sqrt(|seny|))=0 $
Quindi è continua, calcolo i limiti delle derivate parziali per sapere se è derivabile:
derivata parziale rispetto a x:
$ lim_((h,0)-> (0,0)) (f(h,0)-f(0,0))/h=lim_((h,0)-> (0,0)) h/h=1 $
derivata parziale rispetto a y:
$ lim_((0,k)-> (0,0)) (f(0,k)-f(0,0))/k=lim_((0,k)-> (0,0)) 0/k=0 $
Quindi so che è continua so che è derivabile quindi verifico se è differenziabile e quindi iniziano i problemi
$ lim_((h,k)-> (0,0)) (f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^(2)+k^(2))) = lim_((h,k)-> (0,0))(h(1+sqrt(|senk|))-h-0)/(sqrt(h^(2)+k^(2)))= lim_((h,k)-> (0,0))(h(sqrt(|senk|)))/(sqrt(h^(2)+k^(2))) $
Ho pensato di maggiorare in questa maniera :
$ -1<=seny<=1-> sqrt(-1) <=sqrt(seny) <=sqrt(1) ->{ ( sqrt(seny) <=sqrt(1) ),( sqrt(seny) <=sqrt(-1) AA x in R ):} $
Quindi restringo a i valori positivi di seny:
$ 0 <=sqrt(seny) <=sqrt(1) -> 0/(sqrt(h^(2)+k^(2))) <=sqrt(seny)/sqrt(h^(2)+k^(2)) <=sqrt(1)/(sqrt(h^(2)+k^(2)))->$
$(h0)/(sqrt(h^(2)+k^(2))) <=(hsqrt(seny))/sqrt(h^(2)+k^(2)) <=(hsqrt(1))/(sqrt(h^(2)+k^(2))) $
quindi in definitiva:
$ 0 <=(hsqrt(seny))/sqrt(h^(2)+k^(2)) <=h/(sqrt(h^(2)+k^(2))) $
utilizzo questa maggiorazione:
$ h=sqrt(h^(2)) <= sqrt(h^(2)+k^(2)) $
quindi è inutile perchè mi ritrovo così
$ lim_((h,k)-> (0,0))sqrt(h^(2)+k^(2))/(sqrt(h^(2)+k^(2)))=1 $
e quindi
$ 0 <=(hsqrt(seny))/sqrt(h^(2)+k^(2)) <= 1 $
Potete migliorare questo metodo di risoluzione e poi dopo darmi altri input su come poter svolgere con altri metodi questo limite? Grazie mille a tutti in anticipo
Nel caso sia differenziabile in (0,0), determinare il differenziale della seguente funzione
$ f(x,y)= x(1+sqrt(|seny|)) $
Verifico la continuità:
$ lim_((x,y) -> (0,0))x(1+sqrt(|seny|))=0 $
Quindi è continua, calcolo i limiti delle derivate parziali per sapere se è derivabile:
derivata parziale rispetto a x:
$ lim_((h,0)-> (0,0)) (f(h,0)-f(0,0))/h=lim_((h,0)-> (0,0)) h/h=1 $
derivata parziale rispetto a y:
$ lim_((0,k)-> (0,0)) (f(0,k)-f(0,0))/k=lim_((0,k)-> (0,0)) 0/k=0 $
Quindi so che è continua so che è derivabile quindi verifico se è differenziabile e quindi iniziano i problemi
$ lim_((h,k)-> (0,0)) (f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^(2)+k^(2))) = lim_((h,k)-> (0,0))(h(1+sqrt(|senk|))-h-0)/(sqrt(h^(2)+k^(2)))= lim_((h,k)-> (0,0))(h(sqrt(|senk|)))/(sqrt(h^(2)+k^(2))) $
Ho pensato di maggiorare in questa maniera :
$ -1<=seny<=1-> sqrt(-1) <=sqrt(seny) <=sqrt(1) ->{ ( sqrt(seny) <=sqrt(1) ),( sqrt(seny) <=sqrt(-1) AA x in R ):} $
Quindi restringo a i valori positivi di seny:
$ 0 <=sqrt(seny) <=sqrt(1) -> 0/(sqrt(h^(2)+k^(2))) <=sqrt(seny)/sqrt(h^(2)+k^(2)) <=sqrt(1)/(sqrt(h^(2)+k^(2)))->$
$(h0)/(sqrt(h^(2)+k^(2))) <=(hsqrt(seny))/sqrt(h^(2)+k^(2)) <=(hsqrt(1))/(sqrt(h^(2)+k^(2))) $
quindi in definitiva:
$ 0 <=(hsqrt(seny))/sqrt(h^(2)+k^(2)) <=h/(sqrt(h^(2)+k^(2))) $
utilizzo questa maggiorazione:
$ h=sqrt(h^(2)) <= sqrt(h^(2)+k^(2)) $
quindi è inutile perchè mi ritrovo così
$ lim_((h,k)-> (0,0))sqrt(h^(2)+k^(2))/(sqrt(h^(2)+k^(2)))=1 $
e quindi
$ 0 <=(hsqrt(seny))/sqrt(h^(2)+k^(2)) <= 1 $
Potete migliorare questo metodo di risoluzione e poi dopo darmi altri input su come poter svolgere con altri metodi questo limite? Grazie mille a tutti in anticipo
Risposte
Io sfrutterei le coordinate polari a questo punto, più un'ovvia maggiorazione.
"Weierstress":
Io sfrutterei le coordinate polari a questo punto, più un'ovvia maggiorazione.
Cioè? Puoi scrivermi come faresti con delle formule grazie
Non c'era bisogno di verificare la continuità, la funzione è manifestamente continua su tutto \(\mathbb{R}^2\)perché prodotto di due funzioni di una sola variabile continue su tutto \(\mathbb R\). Quanto al limite, quello che hai ottenuto rappresenta un progresso, non buttarlo via! Adattando un poco il tuo ragionamento, puoi arrivare a
\[
0\le \left\lvert \frac{h \sqrt{|\sin k|}}{\sqrt{h^2+k^2} }\right\rvert\le \sqrt{|\sin k|}, \]
e da qui concludi subito.
PS: Non scrivere bestialità, hai scritto da qualche parte \(\sqrt{-1}\), sono strafalcioni da bocciatura automatica. In generale, stai attento ai valori assoluti: non scrivere \(\sqrt{\sin k}\), nessuno obbliga \(k\) ad essere positivo, difatti il testo dell'esercizio ha \(\sqrt{|\sin k|}\). Infine, anche se dimostri che \(f\) è differenziabile in \((0,0)\), ti resta da vedere cosa succede dalle altre parti. Nota che \(\sqrt{|\sin y|}\) NON è differenziabile per \(y=0\).
\[
0\le \left\lvert \frac{h \sqrt{|\sin k|}}{\sqrt{h^2+k^2} }\right\rvert\le \sqrt{|\sin k|}, \]
e da qui concludi subito.
PS: Non scrivere bestialità, hai scritto da qualche parte \(\sqrt{-1}\), sono strafalcioni da bocciatura automatica. In generale, stai attento ai valori assoluti: non scrivere \(\sqrt{\sin k}\), nessuno obbliga \(k\) ad essere positivo, difatti il testo dell'esercizio ha \(\sqrt{|\sin k|}\). Infine, anche se dimostri che \(f\) è differenziabile in \((0,0)\), ti resta da vedere cosa succede dalle altre parti. Nota che \(\sqrt{|\sin y|}\) NON è differenziabile per \(y=0\).
"dissonance":
Non c'era bisogno di verificare la continuità, la funzione è manifestamente continua su tutto \(\mathbb{R}^2\)perché prodotto di due funzioni di una sola variabile continue su tutto \(\mathbb R\). Quanto al limite, quello che hai ottenuto rappresenta un progresso, non buttarlo via! Adattando un poco il tuo ragionamento, puoi arrivare a
\[
0\le \left\lvert \frac{h \sqrt{|\sin k|}}{\sqrt{h^2+k^2} }\right\rvert\le \sqrt{|\sin k|}, \]
e da qui concludi subito.
PS: Non scrivere bestialità, hai scritto da qualche parte \(\sqrt{-1}\), sono strafalcioni da bocciatura automatica. In generale, stai attento ai valori assoluti: non scrivere \(\sqrt{\sin k}\), nessuno obbliga \(k\) ad essere positivo, difatti il testo dell'esercizio ha \(\sqrt{|\sin k|}\). Infine, anche se dimostri che \(f\) è differenziabile in \((0,0)\), ti resta da vedere cosa succede dalle altre parti. Nota che \(\sqrt{|\sin y|}\) NON è differenziabile per \(y=0\).
Il problema e che il marcellini sbordone mi dice che è differenziabile i (0,0) e il suo differenziale vale L(h,k)=h e qui mi trovo.
Come faccio a stabilire che il limite della differenziabilità sia uguale a 0?
Scusami ci sono cose che non capisco per quale motivo hai maggiorato per $ sqrt(|senk|) $ ?
Come fai a dire che quella quantità è maggiore della funzione? Perchè no è differenziabile per y=0? fa radice di 0 no?
Il nostro scopo è questo, della maggiorazione? Sfruttare il teorema dei due carabinieri e quindi ottenere questo:
$ 0=lim_((x,y) -> (0,0)) 0 <= lim_((x,y) -> (0,0))(hsqrt(|seny|))/sqrt(h^(2)+k^(2)) <= lim_((x,y) -> (0,0)) sqrt(|seny|)=0 -> lim_((x,y) -> (0,0)) (hsqrt(|seny|))/sqrt(h^(2)+k^(2))=0 $
Giusto o non ci ho capito assolutamente nulla?
Rispondo all'ultima domanda: si, il nostro scopo è dimostrare che
\[
\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{h \sqrt{ |\sin k|} }{ \sqrt{h^2+k^2} } =0, \]
usando il teorema dei carabinieri.
Però, quando fai il limite per \((h,k)\to (0,0)\), la \(h\) può anche essere negativa, quindi non è vero che
\[\tag{FALSO}
0\le \frac{h\sqrt{|\sin k|}}{\sqrt{h^2+k^2}}.\]
Diventa vero se ci metti un valore assoluto. Qui usi il fatto che \(\lim_{(h,k)\to (0,0)} g(h, k)=0 \iff \lim_{(h,k)\to(0,0)} |g(h, k)|=0.\)
Quanto all'altra disuguaglianza, è praticamente la stessa cosa di quella che hai scritto tu prima:
\[
\frac{|h|}{\sqrt{h^2+k^2} }\le 1.\]
(Dimostrazione: usa il fatto che \(\sqrt{h^2+k^2}\ge \sqrt{h^2}=|h|\)).
Infine, ho notato che l'esercizio ti chiede solo di stabilire la differenziabilità in \((0,0)\), quindi l'altro mio commento non è rilevante. (Se ti avesse chiesto la differenziabilità in altri punti, per esempio, in \((1,0)\), avresti trovato che lì non è differenziabile.)
\[
\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{h \sqrt{ |\sin k|} }{ \sqrt{h^2+k^2} } =0, \]
usando il teorema dei carabinieri.
Però, quando fai il limite per \((h,k)\to (0,0)\), la \(h\) può anche essere negativa, quindi non è vero che
\[\tag{FALSO}
0\le \frac{h\sqrt{|\sin k|}}{\sqrt{h^2+k^2}}.\]
Diventa vero se ci metti un valore assoluto. Qui usi il fatto che \(\lim_{(h,k)\to (0,0)} g(h, k)=0 \iff \lim_{(h,k)\to(0,0)} |g(h, k)|=0.\)
Quanto all'altra disuguaglianza, è praticamente la stessa cosa di quella che hai scritto tu prima:
\[
\frac{|h|}{\sqrt{h^2+k^2} }\le 1.\]
(Dimostrazione: usa il fatto che \(\sqrt{h^2+k^2}\ge \sqrt{h^2}=|h|\)).
Infine, ho notato che l'esercizio ti chiede solo di stabilire la differenziabilità in \((0,0)\), quindi l'altro mio commento non è rilevante. (Se ti avesse chiesto la differenziabilità in altri punti, per esempio, in \((1,0)\), avresti trovato che lì non è differenziabile.)
"dissonance":
Rispondo all'ultima domanda: si, il nostro scopo è dimostrare che
\[
\lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{h \sqrt{ |\sin k|} }{ \sqrt{h^2+k^2} } =0, \]
usando il teorema dei carabinieri.
Però, quando fai il limite per \((h,k)\to (0,0)\), la \(h\) può anche essere negativa, quindi non è vero che
\[\tag{FALSO}
0\le \frac{h\sqrt{|\sin k|}}{\sqrt{h^2+k^2}}.\]
Diventa vero se ci metti un valore assoluto. Qui usi il fatto che \(\lim_{(h,k)\to (0,0)} g(h, k)=0 \iff \lim_{(h,k)\to(0,0)} |g(h, k)|=0.\)
Quanto all'altra disuguaglianza, è praticamente la stessa cosa di quella che hai scritto tu prima:
\[
\frac{|h|}{\sqrt{h^2+k^2} }\le 1.\]
(Dimostrazione: usa il fatto che \(\sqrt{h^2+k^2}\ge \sqrt{h^2}=|h|\)).
Infine, ho notato che l'esercizio ti chiede solo di stabilire la differenziabilità in \((0,0)\), quindi l'altro mio commento non è rilevante. (Se ti avesse chiesto la differenziabilità in altri punti, per esempio, in \((1,0)\), avresti trovato che lì non è differenziabile.)
Grazie per le spiegazioni tutto molto più chiaro, scusami la mia ignoranza ma mi puoi spiegare di più in dettaglio come posso maggiorare per $ sqrt(|senk|) $ ? E come arrivare a dimostrare che il limite della differenziabilità è uguale a 0?
Quando $k\to0$, $sin k\to 0$. Ti basta questo per applicare i carabinieri.
"dissonance":
Quando $k\to0$, $sin k\to 0$. Ti basta questo per applicare i carabinieri.
Premetto che ringrazio tutti per l'aiuto che mi state dando e ammetto che ho molte lacune.
Mica per favore potete essere più chiari?
utilizzo questa maggiorazione:
$ h=sqrt(h^(2)) <= sqrt(h^(2)+k^(2)) $
però non capisco perchè arriverei a dire che:
$ lim_((h,k)-> (0,0))sqrt(h^(2)+k^(2))/(sqrt(h^(2)+k^(2)))=1 $
e quindi
$ 0 <=|(hsqrt(|seny|))/sqrt(h^(2)+k^(2))| <= 1 $
e quindi in teoria questo:
$ |(hsqrt(seny))/sqrt(h^(2)+k^(2))| = 1/2 $
Ma deve essere uguale a 0 come faccio a trovarmi come il libro, il modo di maggiorare vostro mi sembra giusto ma non capisco perchè arrivate a questo?
$ |(hsqrt(|seny|))/sqrt(h^(2)+k^(2))| <= sqrt(|seny|)$
"MrChopin":
e quindi
$ 0 <=|(hsqrt(|seny|))/sqrt(h^(2)+k^(2))| <= 1 $
Puoi ottenere una stima migliore:
\[
0\le \left\lvert \frac{ h \sqrt{|\sin k|}}{\sqrt{h^2+k^2} } \right\rvert \le \sqrt{|\sin k|}.
\]
"dissonance":
[quote="MrChopin"]e quindi
$ 0 <=|(hsqrt(|seny|))/sqrt(h^(2)+k^(2))| <= 1 $
Puoi ottenere una stima migliore:
\[
0\le \left\lvert \frac{ h \sqrt{|\sin k|}}{\sqrt{h^2+k^2} } \right\rvert \le \sqrt{|\sin k|}.
\][/quote]
Si ma la mia domanda è questo perchè la quantità $|(hsqrt(|seny|))/sqrt(h^(2)+k^(2))| $ è minore della quantità $ sqrt(|seny|) $?
Ho capito. Ma lo devi dimostrare tu. È già scritto nei miei post precedenti, tra l'altro
"dissonance":
Ho capito. Ma lo devi dimostrare tu. È già scritto nei miei post precedenti, tra l'altro
Ma non lo so fare!
Veramente? Se $k=0$ allora le due espressioni sono uguali ma se $k>0$ allora il denominatore sarà maggiore di $h$ quindi il moltiplicatore del seno è minore di uno ... 
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