Esercizio differenziabilità

[stenford]

$f(x,y)= (|x|^a * y * log(x^4*y^4))/(x^2+3y^2)$ $xy!=0$
$f(x,y) = 0$ $xy=0$

Discutere continuità e differenziabilitànei punti degli assi coordinati

La continuità è facile ed è soddisfatta per a>1
Per la differenzibilità : è un casino anzi non riesco a definire le derivate parziali per il fatto che quando una delle due cordinate si annulla allora f(x,0)=f(0,y)=0 per questo pensavo di usare il teorema del differenziale totale e porre condizioni di continuità su un'intorno di (0,0) in modo tale che se è continua allora è differenziabile..
mi confermate che la ricerca delle derivate parziali non è fattibile e che è meglio usare il teorema del differenziale totale?

[robbstark1]

Al contrario, sei in un caso particolarmente fortunato. Proprio perché $f(x,0)=f(0,y)=0$ hai che $(partial f)/(partial x) (x,0) = (partial f)/(partial y) (0,y) = 0$, quindi in ognuno di questi punti hai almeno una derivata parziale continua.
Nell'origine esistono entrambe e sono continue, quindi nell'origine è differenziabile.
Negli altri punti degli assi c'è da vedere come si comporta la derivata non banale.

[stenford]

ooooooddio mi hai appena fatto capire tutta la differenziabilità da un errore che avevo fatto grandissimo!!!!!

[dissonance]

"robbstark":Al contrario, sei in un caso particolarmente fortunato. Proprio perché $f(x,0)=f(0,y)=0$ hai che $(partial f)/(partial x) (x,0) = (partial f)/(partial y) (0,y) = 0$, quindi in ognuno di questi punti hai almeno una derivata parziale continua.

E no, aspetta, che le derivate parziali esistano ok, ma come fai a dire così facilmente che sono continue? Dovresti calcolarle in tutto un intorno dell'origine per poter fare una affermazione del genere. Io piuttosto applicherei la definizione di differenziabilità.

[robbstark1]

Sì, scusate, sulla continuità l'ho sparata grossa: è tutta da verificare.