Esercizio di Variabile complessa
Determinare, al variare del intero positivo $n$, le soluzioni di
$\bar{z}=z^n$
$\bar{z}=z^n$
Risposte
Scritto $z=rhoe^(itheta)$, l'equazione è $rhoe^(-itheta)=rho^n e^(i ntheta)$. Estraendo la radice quadrata di ambo i membri, si trova $rhoe^(itheta)=z=root(n)(rho)e^(-i theta/n)$. Bisogna stare attenti al fatto che $root(n)(cdot)$ è una multifunzione, e che restituisce $n$ valori.
Seguendo la traccia indicata da elgiovo, posto
$z=rhoe^(itheta)$ e quindi $\bar{z}=rhoe^(-itheta)$
si ha che
$z=0$
è certamente una soluzione dell'equazione poiché vale banalmente
$\bar{z}=0=0^n=z^n$
A parte questa soluzione particolare, rimangono da trattare i casi in cui è $rho>0$. In questa condizione si ha appunto
$rhoe^(-itheta)=rho^(n)e^(i n theta)$
e dividendo entrambi i membri per $rhoe^(-itheta)$ si ottiene
$rho^(n-1)e^(i(n+1)theta)=1$
ovvero
$rho^(n-1)e^(i(n+1)theta)=1e^(i0)$
Quindi le soluzioni sono quei numeri complessi che hanno modulo $rho$ tale che
$rho^(n-1) = 1$ ovvero $rho = 1$
Poiché l'esponenziale immaginario è periodico di periodo $2pii$, ovvero
$e^(phii)=e^(phii+2kpii)$ con $k \in ZZ$
si ha
$i(n+1)theta = i0+2kpii$, $k \in ZZ$
ovvero
$theta = (2kpi)/(n+1)$, $k \in ZZ$
Si osserva però che per $k=0,1,2,...,n-1,n$ si ha
$0 \le theta < 2pi$
ovvero si ottengono tutte le soluzioni contenute in un periodo, per cui gli altri valori di $k$ non sono significativi in quanto genererebbero delle soluzioni già trovate.
In sintesi quindi le soluzioni dell'equazione di partenza sono date da
$z=0$
e
$z=rhoe^(itheta)$ con $rho = 1$ e $theta = (2kpi)/(n+1)$ con $k=0,1,2,...,n-1,n$ ovvero $z=e^((2kpi)/(n+1)i)$ con $k=0,1,2,...,n-1,n$
$z=rhoe^(itheta)$ e quindi $\bar{z}=rhoe^(-itheta)$
si ha che
$z=0$
è certamente una soluzione dell'equazione poiché vale banalmente
$\bar{z}=0=0^n=z^n$
A parte questa soluzione particolare, rimangono da trattare i casi in cui è $rho>0$. In questa condizione si ha appunto
$rhoe^(-itheta)=rho^(n)e^(i n theta)$
e dividendo entrambi i membri per $rhoe^(-itheta)$ si ottiene
$rho^(n-1)e^(i(n+1)theta)=1$
ovvero
$rho^(n-1)e^(i(n+1)theta)=1e^(i0)$
Quindi le soluzioni sono quei numeri complessi che hanno modulo $rho$ tale che
$rho^(n-1) = 1$ ovvero $rho = 1$
Poiché l'esponenziale immaginario è periodico di periodo $2pii$, ovvero
$e^(phii)=e^(phii+2kpii)$ con $k \in ZZ$
si ha
$i(n+1)theta = i0+2kpii$, $k \in ZZ$
ovvero
$theta = (2kpi)/(n+1)$, $k \in ZZ$
Si osserva però che per $k=0,1,2,...,n-1,n$ si ha
$0 \le theta < 2pi$
ovvero si ottengono tutte le soluzioni contenute in un periodo, per cui gli altri valori di $k$ non sono significativi in quanto genererebbero delle soluzioni già trovate.
In sintesi quindi le soluzioni dell'equazione di partenza sono date da
$z=0$
e
$z=rhoe^(itheta)$ con $rho = 1$ e $theta = (2kpi)/(n+1)$ con $k=0,1,2,...,n-1,n$ ovvero $z=e^((2kpi)/(n+1)i)$ con $k=0,1,2,...,n-1,n$
Dimentica quello che ho detto prima, ubermensch. Ragionando in termini grafici, è ovvio che le soluzioni, tranne quella banale, stanno tutte sulla circonferenza unitaria, perchè l'elevamento a potenza amplifica o riduce il loro $rho$. E' d'altra parte chiaro che il numero deve "girare" di altre $n$ volte oltre il suo angolo, fino a giungere al suo coniugato, che dista dall'asse reale un altro di questi angoli. Allora la circonferenza è divisa in $n+2$ spicchi uguali. Ma allora la soluzione è $e^(i (2kpi)/(n+1))$.
Non ho ben capito il ragionamento di elgiovo 
però mi sembra che ci sia qualcosa che non va perché $z=1$ è soluzione dell'equazione qualunque sia il valore positivo di $n$ (nel mio procedimento si ottiene per $k=0$) mentre a lui non viene...non so...
però mi sembra che ci sia qualcosa che non va perché $z=1$ è soluzione dell'equazione qualunque sia il valore positivo di $n$ (nel mio procedimento si ottiene per $k=0$) mentre a lui non viene...non so...
Ci ho messo un $k$, ora viene.
Per capire il mio ragionamento tieni a mente che moltiplicare per un numero complesso significa ottenere un altro complesso il cui modulo sia il prodotto dei due moduli e il cui angolo sia la somma dei due argomenti. Il problema chiede quali sono quei numeri $z$, che, moltiplicati per se stessi $n$ volte, sono il loro coniugato. Sicuramente possiamo escludere tutti i numeri che non giacciono sulla circonferenza $|z|=1$, dal momento che, se elevati a potenza, verranno "amplificati" (se giacciono al di fuori di $|z|=1$) o "ristretti" (se giacciono dentro $|z|=1$). Ora dobbiamo capire quali punti di tale circonferenza risolvono l'equazione. Ecco una figura, in questo caso ho rappresentato le radici dodicesime dell'unità.
Sia $z$ la seconda radice in senso antiorario dopo $1$. In figura è rappresentato anche il suo coniugato $barz$. Per raggiungere tale coniugato, deve "scattare" per 10 volte, e questo obiettivo è raggiunto se $z$ viene moltiplicato per se stesso $11$ volte. Quindi la seconda radice dodicesima dell'unità in senso antiorario è soluzione dell'equazione $z^(11)=barz$. Ovviamente questo discorso si generalizza, e le soluzioni di $z^n=barz$ sono $z=e^((2kpi)/(n+1))$, al variare di $k$ in $ZZ$.
Sia $z$ la seconda radice in senso antiorario dopo $1$. In figura è rappresentato anche il suo coniugato $barz$. Per raggiungere tale coniugato, deve "scattare" per 10 volte, e questo obiettivo è raggiunto se $z$ viene moltiplicato per se stesso $11$ volte. Quindi la seconda radice dodicesima dell'unità in senso antiorario è soluzione dell'equazione $z^(11)=barz$. Ovviamente questo discorso si generalizza, e le soluzioni di $z^n=barz$ sono $z=e^((2kpi)/(n+1))$, al variare di $k$ in $ZZ$.
"elgiovo":
Come non mi viene? Anzi, mi viene anche $-1$ come soluzione, $forall n in NN$.
Hai ragione, scusa
, non avevo visto la $k$ all'esponente...infilata tra $2$ e $pi$ mi era sfuggita...ancora scusa...Mi pare comunque che sia sufficiente considerare
$e^(i (2kpi)/(n+1))$ con $k=0,1,2,...,n-1,n$
per avere tutte le soluzioni diverse da zero in quanto la formula "simmetrica" $e^(i ((2kpi)/(n+1)+pi))$ fornisce valori già generati dalla precedente.
Si infatti ho sbagliato, il simmetrico rispetto all'origine non è soluzione, e inoltre nel caso in cui le radici dell'unità siano dispari, tale simmetrico non esiste nemmeno.
Grazie elgiovo per la dettagliata spiegazione, adesso mi è piú chiaro cosa intendevi 
. Bel ragionamento geometrico...sapessi farli io... 
P.S.: credo di aver citato un tuo intervento che hai poi rimosso...
. Bel ragionamento geometrico...sapessi farli io... P.S.: credo di aver citato un tuo intervento che hai poi rimosso...
Si, l'ho rimosso perchè era sbagliato... 
Grazie per l'apprezzamento. Questo modo di ragionare l'ho preso dal mio fantastico libro di analisi complessa.
Grazie per l'apprezzamento. Questo modo di ragionare l'ho preso dal mio fantastico libro di analisi complessa.
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