Esercizio di topologia in R
Ciao a tutti!
Mi serviva un aiuto con questo esercizio...
Trovare i punti di accumulazione e i punti isolati del seguente insieme
$A={x = 1/2, 3-1/2, 1/3, 3-1/3, 1/4, 3-1/4, ....., 1/n, 3-1/n; n in NN}$
Grazie
da un mio ragionamento penso che i punti siano ${ 3, 0}$ ma vorrei esserne sicuro... ho pensato che $3$ e $0$ fossero i 2 sup $A$ quindi per qualsiasi intorno $U$ di ${ 3, 0}$ si ha $U$\${ 3, 0} nn A != varphi$
Mi serviva un aiuto con questo esercizio...
Trovare i punti di accumulazione e i punti isolati del seguente insieme
$A={x = 1/2, 3-1/2, 1/3, 3-1/3, 1/4, 3-1/4, ....., 1/n, 3-1/n; n in NN}$
Grazie
da un mio ragionamento penso che i punti siano ${ 3, 0}$ ma vorrei esserne sicuro... ho pensato che $3$ e $0$ fossero i 2 sup $A$ quindi per qualsiasi intorno $U$ di ${ 3, 0}$ si ha $U$\${ 3, 0} nn A != varphi$
Risposte
uhm... io distinguo due oggetti:
la successione $A$ con carattere $x_n = 1/n$ e la successione $B$ con carattere $x_n = 3-1/n$.
entrambe hanno separatamente e rispettivamente $x = 0$ e $x=3$ come punti di accumulazione. tutti gli altri sono isolati.
con una giravolta poco matematica, io sostengo che anche la successione da te proposta abbia gli stessi punti di accumulazione e tutti gli altri sono isolati.
se tento di dare una spiegazione un minimo rigorosa... uhm...
beh, la successone $A$ assume solo valori compresi nell'intervallo $(0,1/2)$, la successione $B$ assume solo valori nell'intervallo $(3-1/2, 3)$. quindi i valori che assumono sono ben distinti. detto in maniera grezza: se disegni i punti delle due successioni, non succede mai che un punto di $B$ si trova a sinistra di un punto di $A$.
posso quindi concludere che la successione iniziale ha i punti di accumulazione e isolati che ho indicato.
credo sia ragionevole
la successione $A$ con carattere $x_n = 1/n$ e la successione $B$ con carattere $x_n = 3-1/n$.
entrambe hanno separatamente e rispettivamente $x = 0$ e $x=3$ come punti di accumulazione. tutti gli altri sono isolati.
con una giravolta poco matematica, io sostengo che anche la successione da te proposta abbia gli stessi punti di accumulazione e tutti gli altri sono isolati.
se tento di dare una spiegazione un minimo rigorosa... uhm...
beh, la successone $A$ assume solo valori compresi nell'intervallo $(0,1/2)$, la successione $B$ assume solo valori nell'intervallo $(3-1/2, 3)$. quindi i valori che assumono sono ben distinti. detto in maniera grezza: se disegni i punti delle due successioni, non succede mai che un punto di $B$ si trova a sinistra di un punto di $A$.
posso quindi concludere che la successione iniziale ha i punti di accumulazione e isolati che ho indicato.
credo sia ragionevole
Grazie mille per la risposta!!
Secondo te allora il ragionamento che ho messo alla fine della mia richiesta utilizzando la definizione di punto di accumulazione, può essere corretto in questo caso?
Secondo te allora il ragionamento che ho messo alla fine della mia richiesta utilizzando la definizione di punto di accumulazione, può essere corretto in questo caso?
uhm... hai usato la definizione di "punto di accumulazione" in modo un po'... rustico! (un modo carino per dire "sbagliato" 
)
i punti di accumulazione di un insieme A sono quei punti tali che, se consideri un qualsiasi loro intorno, dentro di esso ci trovi almeno un altro punto dell'insieme.
gli intorni sono però oggetti che si costruiscono su un singolo punto. non esiste il concetto di "intorno con centrI $x_0$ e $x_1$". e tu hai proprio scritto invece "intorno $U$ di ${3,0}$" che significa appunto "intorno di centri $0$ e $3$".
questo non ha alcun senso.
puoi al più dire che $0$ e $3$ ritieni siano i due ESTREMANTI (infatti $3$ è un sup, ma $0$ è un inf) dell'insieme $A$ che ti è stato dato. e dimostrare quindi che siano entrambi separatamente due punti di accumulazione. devi proprio DIMOSTRARE che, $\forall U(x=0), U\{0} \cap A \ne \emptyset$. a parte l'errore che ho indicato, tu lo hai dato per buono senza dimostrarlo.
)i punti di accumulazione di un insieme A sono quei punti tali che, se consideri un qualsiasi loro intorno, dentro di esso ci trovi almeno un altro punto dell'insieme.
gli intorni sono però oggetti che si costruiscono su un singolo punto. non esiste il concetto di "intorno con centrI $x_0$ e $x_1$". e tu hai proprio scritto invece "intorno $U$ di ${3,0}$" che significa appunto "intorno di centri $0$ e $3$".
questo non ha alcun senso.
puoi al più dire che $0$ e $3$ ritieni siano i due ESTREMANTI (infatti $3$ è un sup, ma $0$ è un inf) dell'insieme $A$ che ti è stato dato. e dimostrare quindi che siano entrambi separatamente due punti di accumulazione. devi proprio DIMOSTRARE che, $\forall U(x=0), U\{0} \cap A \ne \emptyset$. a parte l'errore che ho indicato, tu lo hai dato per buono senza dimostrarlo.
haha è vero hai ragione! 
Quindi per dimostrarlo puoi dire che 0 e 3 sono 2 estremanti dell insieme e quindi sono punti di accumulazione per, appunto, la definizione scritta prima..
Però se magari dentro l insieme $A$ ci fosse ad esempio $-1$, $0$ non sarebbe più un inf dell insieme e quindi per dimostrare che esso è un punto di accumulazione come bisogna fare?!
Scusami per le domande è che in Topologia non sono molto "ferrato"...
Quindi per dimostrarlo puoi dire che 0 e 3 sono 2 estremanti dell insieme e quindi sono punti di accumulazione per, appunto, la definizione scritta prima..
Però se magari dentro l insieme $A$ ci fosse ad esempio $-1$, $0$ non sarebbe più un inf dell insieme e quindi per dimostrare che esso è un punto di accumulazione come bisogna fare?!
Scusami per le domande è che in Topologia non sono molto "ferrato"...
gli estremanti sono tutti punti di accumulazione.
i punti di accumulazione non sono tutti estremanti.
per dirlo come dice un mio professore: "se è un gatto, ha la coda. se ha la coda... chi ha detto che è un gatto???"
un estremante è un punto di accumulazione ED è il più grande/piccolo punto di accumulazione dell'insieme.
l'insieme dei reali $RR$ è pieno di punti di accumulazione, ma i suoi estremanti sono solo $+\infty$ e $-\infty$.
quel che ti ho detto finora serve per dimostrare che un punto è di accumulazione, non che sia estremante. se invece della successione di carattere $x_n = 3-1/n$ avessi avuto $x_n = -5-1/n$, i punti di accumulazione sarebbero stati $-5$ e $0$ ma non erano estremanti. il ragionamento però che ho fatto vale tale e quale.
per dimostrare che un punto è di accumulazione devi dimostrare che per quel punto vale quanto asserito dalla definizione di punto di acc.
i punti di accumulazione non sono tutti estremanti.
per dirlo come dice un mio professore: "se è un gatto, ha la coda. se ha la coda... chi ha detto che è un gatto???"
un estremante è un punto di accumulazione ED è il più grande/piccolo punto di accumulazione dell'insieme.
l'insieme dei reali $RR$ è pieno di punti di accumulazione, ma i suoi estremanti sono solo $+\infty$ e $-\infty$.
quel che ti ho detto finora serve per dimostrare che un punto è di accumulazione, non che sia estremante. se invece della successione di carattere $x_n = 3-1/n$ avessi avuto $x_n = -5-1/n$, i punti di accumulazione sarebbero stati $-5$ e $0$ ma non erano estremanti. il ragionamento però che ho fatto vale tale e quale.
per dimostrare che un punto è di accumulazione devi dimostrare che per quel punto vale quanto asserito dalla definizione di punto di acc.
sisi questo l avevo capito! Il mio problema è appunto l ultima frase che hai scritto : "devi dimostrare che per quel punto vale quanto asserito dalla definizione di punto di acc."
Ora se quei punti sono estremanti sei fortunato perché per dimostrarlo basta sapere che gli estremanti sono tutti punti di accumulazione (cosa facile da dimostrare).
Mentre non saprei come dimostrarlo se i punti di accumulazione non sono estremanti.
Comunque grazie mille per le risposte! ho capito il tuo ragionamento! Probabilmente pensandoci un po' dopo qualche "giro di parole" riuscirei ad arrivare alla dimostrazione!
Ora se quei punti sono estremanti sei fortunato perché per dimostrarlo basta sapere che gli estremanti sono tutti punti di accumulazione (cosa facile da dimostrare).
Mentre non saprei come dimostrarlo se i punti di accumulazione non sono estremanti.
Comunque grazie mille per le risposte! ho capito il tuo ragionamento! Probabilmente pensandoci un po' dopo qualche "giro di parole" riuscirei ad arrivare alla dimostrazione!
uhm... devi dimostrare
$\forall U(x_0), \exists \nu : x_\nu \in U(x_0)$
traduzione: per qualsiasi intorno del punto $\x_0$ che ritieni essere di accumulazione, esiste un indice $\nu$ tale che il punto $x_\nu$ sta dentro all'intorno.
non saprei come poter fare di più. in genere i miei professori qui hanno sempre più o meno concluso con un approccio del tipo "si vede a occhio"... ._.
qualcun altro può magari risponderti meglio in questo quindi.
$\forall U(x_0), \exists \nu : x_\nu \in U(x_0)$
traduzione: per qualsiasi intorno del punto $\x_0$ che ritieni essere di accumulazione, esiste un indice $\nu$ tale che il punto $x_\nu$ sta dentro all'intorno.
non saprei come poter fare di più. in genere i miei professori qui hanno sempre più o meno concluso con un approccio del tipo "si vede a occhio"... ._.
qualcun altro può magari risponderti meglio in questo quindi.
Grazie! Soprattutto per la pazienza! 
Il mio professore invece è assolutamente contro qualsiasi dimostrazione fatta "ad occhio" però ok penso di riuscire a dimostrarlo pensandoci un po'!
Grazie ancora! ciao!!
Il mio professore invece è assolutamente contro qualsiasi dimostrazione fatta "ad occhio" però ok penso di riuscire a dimostrarlo pensandoci un po'!
Grazie ancora! ciao!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo